12 Soal SIMAK UI 2015 Matematika IPA

 1. Jika diketahui 

$\overrightarrow{a}=(\cos{\theta},\sin{\theta},1)$, $\overrightarrow{b}=(3,-1,4)$, dan $\overrightarrow{c}=(\cos{\theta},\sin{\theta},-1)$, maka nilai dari $\|\textrm{proj}_{\overrightarrow{c}}(\textrm{proj}_{\overrightarrow{a}}\overrightarrow{b})\|=$...

A. 0

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. $\sqrt{3}$

E. 2

2. Banyak pasangan bilangan bulat (

$x, y$) yang memenuhi sistem persamaan: $x$ + $y$ – 1 = $x$² + $xy$ + $y$² $x$ + $y$ – 1 = $xy$ + 1 adalah ....

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

E. 0

3. Jika tan 

$x$ + sin ($\pi$ + $x$) = 2 sin²$\begin{aligned}\left(\frac{x}{2}\right)\end{aligned}$dan 0 < $x$ < $\begin{aligned}\left(\frac{\pi}{x}\right)\end{aligned}$, maka sin 2$x$ = ....

A. -1 atau 0 

B. 0 atau 1

C. -1

D. 0

E. 1

4. Diberikan suatu fungsi 

$f$ : $N$ $\rightarrow$ $N$ dengan $f$(1) = 1 dan $N$ adalah himpunan bilangan asli, dengan: $f$($N$)$\left\{ \begin{matrix}1+f\left({{\large \frac{{\large n-1}}{{\large 2}}}}\right);n\, ganjil \\ 1+f\left({{\large \frac{{\large n}}{{\large 2}}}}\right);n\, genap\end{matrix}\right.$

Nilai $f$ (114) adalah ....

A. 11

B. 10

C. 9

D. 8

E. 7

5. Jika 

$m$ adalah jumlah semua bilangan asli $k$ yang mungkin sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat $f$($x$) = $kx$² – $x$ – 4 dan $g$($x$) = $x$² – $kx$ – 4 – $k$² tepat bersinggungan di satu titik, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat 3$mx$² – ($m$+1) $x$ – 5 = 0 adalah ....

A. -519/225

B. 26/9

C. 681/225

D. 34/9

E. tidak bisa ditentukan

6. Jika $f$($x$) = cos $x$, maka  $\begin{aligned}\lim _{h\rightarrow {0}}\frac{f\left(x+{{\large \frac{{\large h}}{{\large 4}}}}\right){-2}\, f(x)+f\left(x-{{\large \frac{{\large h}}{{\large 4}}}}\right)}{h^2}\end{aligned}$= ....

A. -16 cos x

B. -4 cos x

C. -cos x

D. -1/4 cos x

E. -1/16 cos x

 

7. Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva 

$y$ = $x$² + $a$, garis $y$ = -$x$ + $a$ dan garis $x$ = $a$ mempunyai luas $\begin{aligned}\frac{1}{3}\end{aligned}$$a$. Nilai dari 10$a$

 adalah ....

A. 1

B. 5

C. 10

D. 15

E. 20

  

8. Jika diberikan 

$f$($x$) =$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\mathrm{sin}(x)}}}$, maka $f$'$\begin{aligned}\left(\frac{\pi}{2}\right)\end{aligned}$= ....

A. –π

B. –π/2

C. 0 

D. π/2

E. π

9. Diberikan dua kubus ABCD.EFGH dan A’B’C’D’. E’F’G’H’. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 

$a$ dan kubus A’B’C’D’. E’F’G’H’ berada di dalam kubus ABCD.EFGH dengan semua diagonal ruang yang bersesuaian saling berhimpit. Jika panjang diagonal ruang A’B’C’D’.E’F’G’H’ sama dengan setengah panjang diagonal ruang ABCD.EFGH, maka jarak titik A dan A’ adalah ...

A. $1/4 \sqrt{3a}$

B. $1/3 \sqrt{3a}$

C. $1/2 \sqrt{3a}$

D. $1/2 \sqrt{2a}$

E. $1/3 \sqrt{2a}$

10. Jika |

$x$ – 2$x$²| > 2$x$ + 1, maka ...

(1) himpunan$\begin{aligned}\left\{x\in{R}\mid{x}<-\frac{1}{2}\,\mathrm{atau}\,x>2\right\}\end{aligned}$adalah himpunan bagian dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan

(2) banyaknya bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan adalah tak berhingga banyaknya

(3) banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhi pertidaksamaan ada 2

(4) himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah himpunan bilangan real

A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.

11. Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah ...

(1)$\begin{aligned}1-\mathrm{sin}\,x=2\,\mathrm{sin}^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\end{aligned}$

(2)$\begin{aligned}\frac{1-2\,\mathrm{sin}^2}{1+\mathrm{sin}\,2x}=\frac{1-\mathrm{tan}\,x}{1+\mathrm{tan}\,x}\end{aligned}$

(3)$\begin{aligned}\frac{\mathrm{sin}^{4}x+2\,\mathrm{sin}\,x\,\mathrm{cos}\,x-\mathrm{cos}^{4}x}{1-\mathrm{tan}2x}=-\mathrm{cos}\,2x\end{aligned}$

(4)$\begin{aligned}\frac{\mathrm{sin}(x-y)\,\mathrm{sin}(x+y)}{1+\mathrm{tan}^{2}x\,\mathrm{cos}^{2}y}=\mathrm{cos}^{2}x\,\mathrm{sin}^{2}y\end{aligned}$

A. (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.

12. Jika sisa pembagian 

$f$($x$) oleh ($x$² – 4$x$ + 3) adalah 2$x$ – 1 dan sisa pembagian $f$($x$) oleh ($x$² + 4$x$ + 3) adalah $x$ – 2, maka ....

(1) sisa pembagian ($x$+2) $f$($x$) oleh ($x$²–1) adalah 3$x$ – 1

(2) sisa pembagian -$x$, $f$($x$) oleh ($x$²–9) adalah -15

(3) sisa pembagian $f$(-$x$) oleh ($x$²–2$x$–3) adalah $\begin{aligned}\frac{3}{2}\end{aligned}$$x$ –$\begin{aligned}\frac{5}{2}\end{aligned}$

(4) sisa pembagian -$f$(-$x$) oleh ($x$$^2$–2x–3) adalah $\begin{aligned}\frac{3}{2}\end{aligned}$$x$ +$\begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned}$

C. (2) dan (4) SAJA yang benar.