15 Soal SBMPTN 2018 Matematika IPA dan Pembahasan

1. Jika fungsi $f(x) = a^2sin(ax) + 10$ mempunyai periode $\frac{\pi}{2}$, maka nilai minimum fungsi f adalah ...
(A)-16 (B)-6 (C)1 (D)6 (E)9
Jawab

persamaan gelombang umumnya (yang gak umum gimana? Ada lah..) adalah
y = A sin(B(x + C)) + D, dimana periodenya bernilai $\frac{2\pi}{B}$

dari $f(x) = a^2sin(ax) + 10$ di soal kita dapat menyimpulkan periodenya bernilai $\frac{2\pi}{a}$, dikatakan juga fungsi ini  periodenya bernilai $\frac{\pi}{2}$, tentu kita bisa dapat nilai a yaitu 4. Kita ganti a menjadi 4 sehingga $f(x) = a^2sin(ax) + 10 \rightarrow f(x) = 4^2sin(4x) + 10$
pada persamaan baru, yang membuat nilai fungsi berubah hanya satu variabel, yaitu sin(4x). Kita tahu juga, nilai sin(x) berada di antara -1 dan 1 saja, sama untuk sin(n$\cdot$x). Maka, nilai minimum dari fungsi di soal didapat ketika sin(4x) bernilai paling kecil yaitu -1. Ketika sin(4x) bernilai -1, fungsinya bernilai $4^2 \cdot (-1) + 10 = -6$

2. Jika titik P(-1, 3) digeser sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah lalu dicerminkan ke garis x=2, maka bayangannya adalah P'(3, -6). Nilai a-b adalah...
(A)-1 (B)-3 (C)-5 (D)-7 (E)-9
Jawab

Pertama,
dari soal dikatakan titik P(-1, 3) digeser sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah

penggeseran (translasi) suatu titik ke kanan atau ke kiri tentunya merubah koordinat x dari si titik, sedangkan penggeseran suatu titik ke atas atau ke bawah merubah koordinat y dari si titik.
Jika si titik digeser ke kanan sejauh a, koordinat x nya ditambah a
Jika si titik digeser ke kiri sejauh a, koordinat x nya dikurang a
Jika si titik digeser ke atas sejauh a, koordinat y nya ditambah a
Jika si titik digeser ke bawah sejauh a, koordinat y nya dikurang a
P(-1,3) $\rightarrow$ P'(-1+a, 3-b)

Kedua,
dari soal dikatakan lagi, lalu dicerminkan ke garis x=2

Jika suatu titik dicerminkan ke garis x, tentu kita dapat simpulkan yang berubah adalah koordinat x dari si titik, sedangkan jika suatu titik dicerminkan ke garis y, akan merubah koordinat y dari si titik.

(ilustrasi)
si titik -- cermin -- bayangan (bisa juga bayangan -- cermin -- si titik, tapi dari soal kita tahu bahwa hasil bayangan ada di sisi kanan cermin)

jarak cermin ke si titik adalah koordinat cermin dikurang koordinat si titik, sama halnya dengan menghitung jarak dari titik x=4 ke titik x=-3, yaitu 4 dikurang (-3), bisa juga (-3) dikurang 4, tapi biasanya yang besar dikurang yang kecil dalam hal menghitung jarak.

jarak cermin ke bayangan adalah koordinat bayangan dikurang koordinat si cermin, (karena di soal ini, koordinat bayangan lebih besar (di kanan) )

Kembali ke soal,
titik P'(-1+a, 3-b) dicerminkan ke garis x=2

(ilustrasi)
P'(-1+a, 3-b) -- cermin x = 2 -- P'(3,-6)

jarak cermin ke P'(-1+a, 3-b) yaitu 2 dikurang (-1+a) adalah (3+a)
jarak P'(3,-6) ke cermin yaitu 3 dikurang 2 = (3+a), maka kita dapat nilai a adalah -2, bisa juga, koordinat cermin ditambah jarak menjadi koordinat si bayangan, 2+(3+a) = 3, tetap sama kita dapat nilai a adalah -2, lalu koordinat y bernilai tetap adalah (3-b), juga bayangan terakhir kita tahu dari soal adalah P'(3,-6), sehingga (3-b) bernilai -6, dan b bernilai 9
ditanyakan nilai a-b, kita dapat yaitu -11

Tidak ada jawaban? Iya. Tapi, kalau pembaca sekalian tahu di mana kesalahan saya, bisa komen di bawah (saya juga penasaran salah di mana...)

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $2\sqrt2$ cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ... cm
(A)$\sqrt{15}$ (B)4 (C)$\sqrt{17}$ (D)$3\sqrt2$ (E)$\sqrt{19}$
Jawab

Kalau P di tengah AB, panjang BP pasti kalian tahu? Yaitu setengah panjang AB, bukan? Demikian juga Q di tengah sawah.. bukan! di tengah BC, panjang BQ adalah setengah? BC, PQ kita bisa cari? Bisa, pakai apa? Pythagoras kan... kenapa cari PQ? Kita mau cari panjang BX

$PQ = \sqrt{BP^2 + BQ^2} = 2$
PQ = 2 cm, BX bisa tahu dong? Segitiga BPQ kan luasnya bisa dihitung dengan dua cara PQ.BQ tinggi dan alas, atau BX.PQ tinggi dan alas. Tentunya kedua cara menghasilkan luas segitiga BPQ yang sama (lah ya...)  1/2$\cdot$BX$\cdot$PQ = 1/2$\cdot$BP$\cdot$BQ
Maka BX = 1 cm. Kenapa cari BX? Kita cari DX supaya dapat HX (lihat gambar... biar ga ngayal...)
Tentu DX kita bisa cari ya, DX adalah BD - BX = 4 - 1 = 3 cm (BD bisa cari sendiri lah ya.. phytagoras dari ABD...)
Pada segitiga DHX, HX dapat kita cari..
Kelihatan dong kalau jarak titik H dengan garis PQ adalah HX dan $HX^2 = HD^2 + DX^2$
$HX = \sqrt{17}$

 

4. $\lim_{x\to 0}{\frac{sinx \cdot cosx}{\sqrt{\pi+2sinx}-\sqrt{\pi}}} = ...$

Jawab

Ya, ga perlu diceritain panjang lebar kalau udah limit gini ya.. makin pusing... (ga lah ya? kalian kan mau lulus, Amin..)

Pertama, masukin dulu nilai x mendekati berapa, kalau hasil tak terdefinisi yaitu 0/0, masuk ke tahap dua

Kedua, penyebut dan pembilang dikalikan persamaan sekawan dari penyebutnya (biasanya sih penyebut, tergantung soal juga) atau diturunkan, dalil L'Hopital ya??

Soal ini cukup dikalikan dengan persamaan sekawannya dari si penyebut
 $\lim_{x\to 0}{ \frac{ sinx \cdot cosx \cdot (\sqrt{\pi+2sinx }+ \sqrt{\pi})}{(\sqrt{\pi+2sinx}-\sqrt{\pi}) \cdot (\sqrt{\pi+2sinx }+ \sqrt{\pi})}}$

 $\lim_{x\to 0}{ \frac{cosx\cdot(\sqrt{\pi+2sinx }+ \sqrt{\pi})}{2}}$ sepertinya sudah bisa dimasukkan nilai x mendekati berapanya..
fungsi di atas saat nilai x mendekati 0 hasilnya mendekati $\pi$

 

5. Diketahui barisan geometri $U_n$ dengan $U_2 + 1$  adalah rata-rata $U_1$ dan $U_3$. Jika $U_1 = 8$, maka jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah...
Jawab

Kita tahu dari soal, bahwa $U_2 + 1= \frac{(U_1 + U_3)}{2}$ dan juga deret ini adalah deret geometri.
Kita perlu cari r, r itu apa hayoo? Rasio ya? (Ratio bahasa Inggrisnya sama saja lah ya..) Kenapa rasio? Karena pada deret geometri suku berikutnya berubah teratur dari hasil perkalian rasio, berubah dengan mengikuti rasio tertentu,  perbandingan suku ke-n dengan suku sebelumnya (n-1) akan selalu sama untuk n berapapun dari deret itu.
$U_2 + 1= \frac{(U_1 + U_3)}{2}$

$(a \cdot r) + 1 = \frac{(a + (a \cdot r^2))}{2}$
Dari soal kita tahu bahwa $U_1 = 8$
$8r + 1 = 4 + 4r^2 $
r = 3/2 atau r = 1/2
jika r = 1/2
$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = 8+4+2+1 = 15$
Mau pakai rumus juga boleh, kalian pro ya...
$S_n = \pm \frac{a\cdot(1-r^{n})}{1-r}$
Kalau r lebih besar dari satu, kalikan saja rumus di atas dengan -1.
$S_4 =  \frac{8\cdot(1-(1/2^{4}))}{1-1/2} = 15$
Jika r=3/2
Coba saja kalian hitung...

7. Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan , adalah...
Jawab

Banyak cara duduk suluruhnya untuk 9 orang = 9!
Pada awalnya 9 orang kita bisa pilih
Berikutnya 8 orang yang bisa kita pilih
dst, sampai tinggal satu orang.

Banyak cara baris jika Ari dan Ira tidak berdampingan bisa dicari dengan semua cara baris dikurang banyak cara baris ketika mereka berdampingan,
Ari dan Ira berdampingan yaitu berarti
Ari dan Ira dihitung satu pilihan, kalau kita pilih Ari baris, Ira juga, kalau pilih Ira, kita pilih Ari juga..
Berkurang satu pilihan sisa 8 pilihan jadi 8! Tapi 8! Bisa dua cara, ketika Ari baris dulu baru Ira atau Ira baris dulu baru Ari.

(Ilustrasi)
$8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot$
(Ira dan Ari)
$8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot$
(Ari dan Ira)

Banyak cara baris jika Ari dan Ira tidak berdampingan =
9! - 2$\cdot$8! = 97.

8. $x^2 + y^2 + Ax + 2Ay + C =0$
$x^2 + y^2 + Ax + 3Ay + C =0$ berturut-turut adalah 2 dan $\sqrt{10}$, maka nilai C adalah...
Jawab

Untuk menjawab soal seperti ini tentunya kalian harus tau persamaan umum (lagi, yang umum aja lah...) lingkaran, yaitu
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

Untuk rumus ini, titik pusat lingkaran dan radius lingkaran terlihat jelas (emangnya apa?)

Ya, jadi (h, k) adalah titik pusat lingkaran dan r adalah radius lingkaran (bukan rasio.. udah tau ya?)

 

$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$

Untuk rumus ini, titik pusat lingkaran berada pada C dan D, yaitu

C = 2h dan D = 2k, dimisalkan titik pusat adalah (h,k) dan untuk radius lingkaran terdapat pada E, yaitu $h^2 + y^2 - r^2 = E$

 

Kembali ke laptop... maksudnya soal,

Persamaan lingkaran pada soal, sekarang kita tahu bahwa C di situ terdapat nilai radius, dan C pada kedua lingkaran sama.

 

untuk persamaan lingkaran pertama :

$x^2 + y^2 + Ax + 2Ay + C =0$

Pusat (h,k) adalah (1/2A, 1/2(2A))

$h^2 + y^2 - r^2 = E$

yaitu $(1/2A)^2 + (A)^2 - 2^2 = C$

 

untuk persamaan lingkaran kedua :

$x^2 + y^2 + Ax + 3Ay + C =0$

Pusat (h,k) adalah (1/2A, 1/2(3A))

$h^2 + y^2 - r^2 = E$

yaitu $(1/2A)^2 + (3/2A)^2 - \sqrt{10}^2 = C$

 

Kita punya dua persamaan C, dan dengan mudah bisa dicari nilai C, silahkan cari sendiri caranya (C adalah 2)

 

9. Sisa pembagian P(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C oleh (x+3) adalah 2. Jika p(x) habis dibagi oleh (x+1) dan (x-1), maka A + 2B - 3C adalah...
Jawab

Kita akan mencari A, B, dan C
Maka kita paling sedikit butuh tiga persamaan
P(x) bersisa 2 dibagi (x-3), maka P(-3) = 2
P(x) habis dibagi (x+1), maka P(1) = 0
P(x) habis dibagi (x-1), maka P(-1) = 0

Kita dapat A=4,B=-1,C=-4
A+2B-3C adalah 14

10. Garis yang melalui titik O(0,0) dan P(a,b) berpotongan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y = 9/2 - x^2$
di P(a,b). Jika titik P berada di kuadran II, maka a+b adalah ...
Jawab

Pertama, cari gradien garis yang bersinggungan (kita namakan $y_1$) dengan kurva, kenapa cari gradien? Ya, karena mau cari titik P yang berhubungan dengan gradien..
Gradien adalah turunan pertama dari persamaan kurva, (kalau menyinggung lingkaran, ya, turunan pertama persamaan lingkaran, dst..)
Turunan pertama dari kurva
y' = -2x, kenapa ada variabel x, karena pada kurva gradiennya berubah-ubah mengikuti nilai x, bukan garis lurus..
Yang penting, garis singgung menyinggung di suatu x tertentu,  yaitu kita tahu adalah si P(a,b) tersebut..
Jadi, gradien $y_1$ adalah -2a,

Informasi kedua,
Garis lain (kita namakan $y_2$)  $\bot$ garis singgung kurva
Maka, gradien $y_2$ $\cdot$ gradien $y_1$ adalah -1
gradien $y_2$  adalah 1/2a
$y_2$ melalui (0,0) dan (a,b)
Bisa cari nilai gradien $y_2$ dengan $\frac{(b-0)}{(a-0)}$ maka, b/a = 1/(2a) maka b=1/2 atau,
Persamaan $y_2$
$y_2 = 1/(2a)\cdot x + c $

$y_2$  melalui (0,0) maka c adalah 0, melalui (a,b) maka b =1/2,

tentu kita bisa cari a, dari persamaan kurva, $y_1$ menyinggung kurva y di (a,b) berarti kurva juga melewati (a,b)

 $y = 9/2 - x^2 \rightarrow b=9/2 - a^2$

b=1/2 dan a kita dapat $\pm 2$
Dan dari soal, kita tahu P di kuadran II
Maka koordinat x negatif, a = -2
Nilai a+b = -3/2

11. $\int^{1/3}_{1/8} \frac{3}{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}} dx = ?$
pakai integral substitusi, karena jika kita misalkan u = 1 + 1/x maka du = $\frac{1}{-x^{2}}$ dx maka dx = du $\cdot -x^2$ mirip dengan $\frac{3}{x^2}$ pada soal

$ = 3 \cdot \int^{1/3}_{1/8} \frac{1}{x^2}\cdot \sqrt{u} \cdot dx  = 3 \cdot \int^{1/3}_{1/8} \frac{1}{x^2} \cdot \sqrt{u} \cdot du \cdot (-x^2) =  3 \cdot \int^{1/3}_{1/8}  \sqrt{u} \cdot du \cdot  (-1) = (-3) \cdot 2/3 \cdot u^{3/2}\cdot  du \  | ^{1/3} _{1/8}  = 38 $



13. Himpunan semua bilangan real x pada selang [$\pi, 2\pi$]
yang memenuhi   $2cos(\pi/2 - x) cosx \geq 1-cos2x $
berbentuk [a,b]. Nilai a+b adalah...
Jawab

$\pi<x<2\pi$
berarti kuadran III dan IV
 $2cos(\pi/2 - x) cosx \geq 1-cos2x $
$2sinxcosx \geq 2sinx^2$
$1 \geq tanx$,
tanx positif maka kuadran 3
x = 0, 30, 45 = 180, 210, 225
interval [180, 225]
$a + b = \pi + \frac{10}{8} \cdot \pi = \frac{9}{4} \cdot \pi$


14.  Diketahui $f(x) = 9^{x^2 - x + 2}$
dan $g(x) = 3^{x^2+2x+1}$
Jika [a,b] adalah interval dengan grafik $y=f(x)$
di bawah grafik
$y=g(x)$
maka nilai $a+2b$ adalah...
Jawab

$f(x)$
dibawah
$g(x)$
berarti nilai y yang dihasilkan $f(x)$
lebih kecil dari y yang dihasilkan $g(x)$
(ya, kan?)

Sama saja dengan,

$9^{x^2 - x + 2} \lt 3^{x^2+2x+1}  $

$3^{2x^2-2x+4}  \lt 3^{x^2+2x+1} $

$2x^2-2x+4  \lt x^2+2x+1$

$x^2 -4x + 3 <0$
$(x-1)(x-3) < 0$
$1<x<3$
$a+2b = 1+6 = 7$