1. Jika A, B memenuhi sistem
$\frac{2A}{A-2B} - \frac{6B}{A+2B} = 3$
$-\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A+2B} = -1$
maka $\frac{AB}{A^2 - 4B^2} = ... $
A. 1/6 D. 4/3
B. 𝟏/𝟑 E. 5/6
C. 2/3
$ \frac{A}{A-2B}$ $\cdot \frac{B}{A+2B}$ $ a \cdot b $
$\frac{2A}{A-2B} - \frac{6B}{A+2B} = 3$
$-\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A+2B} = -1$
maka $\frac{AB}{A^2 - 4B^2} = ... $
A. 1/6 D. 4/3
B. 𝟏/𝟑 E. 5/6
C. 2/3
ditanya $\frac{AB}{A^2 - 4B^2}$ bisa dijabarkan menjadi
$ \frac{A}{A-2B}$ $\cdot \frac{B}{A+2B}$ $ a \cdot b $
$\frac{2A}{A-2B}$ $ - \frac{6B}{A+2B}$$ = (2\cdot \frac{A}{A-2B})$$ - (6 \cdot \frac{B}{A+2B}) = 2a - 6b = 3$
dan,
$ -\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A+2B}$$ = (-1 \cdot \frac{A}{A-2B}) $$ + (6 \cdot \frac{B}{A+2B}) = -a + 6b = -1 \rightarrow a = 2, b = 1/6 \rightarrow a\cdot b = 1/3 $
dan,
$ -\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A+2B}$$ = (-1 \cdot \frac{A}{A-2B}) $$ + (6 \cdot \frac{B}{A+2B}) = -a + 6b = -1 \rightarrow a = 2, b = 1/6 \rightarrow a\cdot b = 1/3 $
2. Seorang pelajar berencana menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, berapa besar tingkat suku bunga per tahun ...
A. $𝟐 (\sqrt[𝟏𝟎] 𝟐 − 𝟏)$ D. $ 2 \sqrt[5]2$
B. $2 (\sqrt[5] 2 − 1)$ E. $ 2 \sqrt[10]2$
C. $ 2 \sqrt 2$
Jawab
misal M adalah uang semula$U_{10}$ adalah uang pada saat 5 tahun berlangsung, yaitu semester 10
rasionya adalah (1+b) dimana, b adalah suku bunga per semester, ditambah satu karena untuk semester berikutnya, yang diberi bunga uang bukan hanya hasil bunga uang sebelumnya, tapi juga berikut uang pokoknya,
maka, $U_{10} = a\cdot r^{n} \rightarrow 2M = M(1+b)^{10} \rightarrow b = \sqrt[10] 2 - 1$
suku bunga per tahun adalah $2b = 2 \cdot \sqrt[10] 2 - 2$
3. Banyaknya bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{3x +6}{| x-1|} > 4$ adalah...
A. 5 D. 8 B. 6 E. 9 C. 7
Jawab
$(3x +6) > 4\cdot (| x-1|)$
cara menghitung persamaan absolut ada beberapa cara
1. dikuadratkan
$(3x +6)^2 > (4\cdot (x-1))^2$
2. permisalan negatif positif
$(3x +6) > 4\cdot (| x-1|) \rightarrow (3x +6) > 4\cdot (x-1)$ atau
$(3x +6) > 4\cdot -(x-1)$
saya lebih suka yang kedua, tapi itu juga tergantung masing-masing kalian
$(3x +6) > 4\cdot (| x-1|) \rightarrow (3x +6) > 4\cdot (x-1)$
$(3x +6) > 4x - 4 \rightarrow x < 10$
$(3x +6) > 4\cdot (| x-1|) \rightarrow (3x +6) > 4\cdot -(x-1)$
$(3x +6) > -4x + 4 \rightarrow 7x > -2 $
dari $x<10$ dan $7x>-2$
kita dapat interval $-2/7 < x < 10$ dan x tidak sama dengan satu (karena penyebutnya tidak boleh sama dengan nol)
maka : [0,2,3,4,5,6,7,8] ada 9 bilangan bulat
Untuk cara pertama, coba dikerjakan buat latihan.
4. Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut $\alpha$ dengan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt7}$ Jika $ |\vec{a}| = \sqrt 5$ dan $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt30$ maka $\vec{b}\cdot \vec{b}$ = ...
Jawab
rumus umum vektor :$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| cos \alpha$
yang diketahui
$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt7}$
maka $\cos \alpha = \frac{\sqrt 6}{\sqrt7}$
$\sqrt{30} = \sqrt5 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt6}{\sqrt7}$
$|\vec{b}| = \sqrt{7}$
$|\vec{b}| \cdot |\vec{b}| = 7 $
5. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $\frac{2\cdot sin(x) \cdot cos(2x)}{cos (x) \cdot sin (2x)} - 5 \tan(x) + 5 = 0$ maka $\tan(x_1 + x_2) = ....$m
Jawab
CARA I
$\frac{2\cdot sin(x) \cdot cos(2x)}{cos (x) \cdot sin (2x)} - 5 \tan(x) + 5 = 0$
$\frac{2 \tan x }{\tan 2x} - 5 \tan(x) + 5 = 0$
sedangkan rumus penjumlahan sudut untuk tan
$\tan (a+ b) = \frac{\tan a + \tan b }{1 - (\tan a \cdot \tan b)}$
$\tan (x + x) = \frac{2 \tan x }{1 - \tan^2 x}$ maka
$1 - \tan^2 x = \frac{2 \tan x }{\tan (x + x)}$
$ 1 - \tan^2 x - 5 \tan(x) + 5 = 0$
$\tan^2 x + 5 \tan x - 6 = 0$.
$\tan x = -6$ or $\tan x = +1$.
yang ditanyakan adalah $\tan(x_1 + x_2) = \frac{-6 + 1}{1 - (-6)\cdot(+1)} = \frac{-5}{7}$.
CARA II
$\frac{2\cdot sin(x) \cdot cos(2x)}{cos (x) \cdot sin (2x)} - 5 \tan(x) + 5 = 0$
$\dfrac{2\cdot \sin(x) \cdot (\cos^2x - \sin^2x)}{\cos (x) \cdot 2 \sin x \cos x} - 5 \tan(x) + 5 = 0$
$(\sin x - \cos x)(\sin x + 6 \cos x) = 0$
$sin x = cos x$ atau $sinx = -6cosx$
$\tan (a+ b) = \frac{\tan a + \tan b }{1 - (\tan a \cdot \tan b)}$
$\tan(x_1 + x_2) = \frac{1 + (-6)}{1 - (-6)\cdot(+1)} = \frac{-5}{7}$.
6. Suatu hiperbola mempunyai dua asimtot yang saling tegak lurus. Titik potong kedua asimtot tersebut dengan sumbu $Y$ adalah $(0,1)$ dan $(0, 3)$. Persamaan hiperbola tersebut adalah...
7. Sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2 - 4)$ adalah $(ax+b)$ Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-2)$adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+2)$ adalah $-5$ maka nilai $4a+b$ adalah ...
8. Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3 \sqrt 2$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan titik lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil seperti pada gambar luas daerah irisan kedua lingkaran adalah...
A. 18π + 18 D. 14π − 15
B. 18π − 18 E. 10π − 10
C. 14π − 14
Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah
1/2 luas lingkaran kecil + 1/4 luas lingkaran besar - luas segitiga ABC
dari sini gampang ya, bisa kerjain sendiri..
$\tan x = -6$ or $\tan x = +1$.
yang ditanyakan adalah $\tan(x_1 + x_2) = \frac{-6 + 1}{1 - (-6)\cdot(+1)} = \frac{-5}{7}$.
CARA II
$\frac{2\cdot sin(x) \cdot cos(2x)}{cos (x) \cdot sin (2x)} - 5 \tan(x) + 5 = 0$
$\dfrac{2\cdot \sin(x) \cdot (\cos^2x - \sin^2x)}{\cos (x) \cdot 2 \sin x \cos x} - 5 \tan(x) + 5 = 0$
$(\sin x - \cos x)(\sin x + 6 \cos x) = 0$
$sin x = cos x$ atau $sinx = -6cosx$
$\tan (a+ b) = \frac{\tan a + \tan b }{1 - (\tan a \cdot \tan b)}$
$\tan(x_1 + x_2) = \frac{1 + (-6)}{1 - (-6)\cdot(+1)} = \frac{-5}{7}$.
6. Suatu hiperbola mempunyai dua asimtot yang saling tegak lurus. Titik potong kedua asimtot tersebut dengan sumbu $Y$ adalah $(0,1)$ dan $(0, 3)$. Persamaan hiperbola tersebut adalah...
Jawab
7. Sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2 - 4)$ adalah $(ax+b)$ Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-2)$adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+2)$ adalah $-5$ maka nilai $4a+b$ adalah ...
Jawab
8. Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3 \sqrt 2$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan titik lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil seperti pada gambar luas daerah irisan kedua lingkaran adalah...
A. 18π + 18 D. 14π − 15
B. 18π − 18 E. 10π − 10
C. 14π − 14
Jawab
1/2 luas lingkaran kecil + 1/4 luas lingkaran besar - luas segitiga ABC
dari sini gampang ya, bisa kerjain sendiri..
9. Jika $\int^4 _{−4} (sin (x) + 1) dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int^4 _{−2} f(x) dx = 4$, maka $\int^0 _{−2} f(x) dx = ⋯$
A. 0 D. 3
B. 1 E. 4
C. 2
Jawab
tepat memiliki satu asimtot tegak. Hasil pejumlahan kedua nilai C tersebut adalah ...
A. 10 D. 13
B. 11 E. 14
C. 12
Jawab
Misal $f x = x^3 + 6x + C$
Asimtot tegak ada jika penyebut dari kurva y = 0
$y = \frac{x^3+6x+C}{x^2+x−2}$
$y = \frac{x^3+6x+C}{(x−1) (x+2)}$
Agar kurva y tepat memiliki 1 asimtot tegak, maka
salah satu faktor dari penyebut harus di coret.
agar faktor penyebut bisa dicoret, maka salah satu
faktor dari penyebut juga merupakan faktor dari
pembilang.
● Misalkan $(x − 1)$ adalah salah satu faktor
dari $f(x)$, maka dengan Metode Horner akan di
dapatkan
$f(x) = (x − 1)(x^2 + x + 7) + (7 + C)$
Karena $(x − 1)$ adalah faktor dari $f(x)$. Maka $f(x)$
habis dibagi $(x − 1)$. Sehingga $7 + C = 0$
⇒ C = −7
● Misalkan $(x + 2)$ adalah salah satu faktor
dari $f(x)$, maka dengan Metode Horner akan di
dapatkan
$f x = (x + 2 )(x^2 − 2x + 10) + (C − 20)$
Karena $(x + 2)$ adalah faktor dari $f(x)$. Maka $f(x)$
habis dibagi $(x + 2)$. Sehingga $C − 20 = 0$
⇒ C = 20
∴ Penjumlahan dua nilai C adalah 20 − 7 = 13
14. Garis singgung dari kurva $y = \frac{x}{2−2x}$ yang melalui titik (1, −1) adalah ...
A. x − 8y − 9 = 0
B. x + 4y + 3 = 0
C. 2x − 8y − 10 = 0
D. x + 8y + 7 = 0
E. x − 4y − 5 = 0
Jawab
CARA 1
Pertama, cari gradien garis yang bersinggungan (kita namakan $y_1$) dengan kurva, kenapa cari gradien? Ya, karena mau cari titik P yang berhubungan dengan gradien..
Gradien adalah turunan pertama dari persamaan kurva, (kalau menyinggung lingkaran, ya, turunan pertama persamaan lingkaran, dst..)
Turunan pertama dari kurva $y = \frac{x}{2−2x}$
$y = \frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - g'(x)\cdot f(x)}{{g(x)}^2}$
$y = \frac{x}{2−2x}$
$y' = \frac{(2-2x)-(x \cdot (-2))}{{(2−2x)}^2}$ $\rightarrow$ $y' = \frac{(2-2x+2x)}{{(2−2x)}^2} = \frac{2}{{(2-2x)}^2}$
kenapa di gradien ada variabel x, karena pada kurva gradiennya berubah-ubah mengikuti nilai x, bukan garis lurus..
Jadi, gradien $y_1$ adalah $y' = \frac{(2-2x+2x)}{{(2−2x)}^2} = \frac{2}{{(2-2x)}^2}$
dititik apa bersinggungannya? jelas dititik yang ada di kurva tapi belum diketahui yaitu $(x, 2−2x)$..
persamaan garis adalah
$(y-y_1)=m(x-x_1)$ berasal dari rumus gradient $m = \frac{(y-y_1)}{(x-x_1)}$ dimana $(x_1,y_1)$ adalah $(1,-1)$ dan $(x,y)$ adalah $(x, 2−2x)$
$m = \frac{(2-2x) - (-1)}{(x - 1)} \rightarrow \frac{2}{{(2-2x)}^2} = \frac{((2-2x) - (-1)}{(x-1)} $ kita dapat $x = 3$, maka $y_1$ dan kurva bersinggungan di $x = 3$
$m = \frac{2}{{(2-2x)}^2} \rightarrow 2/16$
cari persamaan garis $y_1$
$y = mx + c \rightarrow -1 = 1/8(1) + c \rightarrow c = -9/8$
kita dapat $y_1 = 1/8 \cdot x - 9/8$
CARA 2
sebarang garis yang melalui titik (1, −1) adalah
y + 1 = m(x − 1)
y = mx − m − 1
substitusikan $y = mx − m − 1$ ke $y = \frac{x}{2−2x} $
$⇒ mx − m − 1 = \frac{x}{2−2x} $
$⇒ (mx − m − 1)( 2 − 2x ) − x = 0$
$⇒ 2mx − 2mx2 − 2m + 2mx − 2 + 2x − x = 0$
$⇒ 4mx − 2mx2 − 2m − 2 + x = 0
$⇒ −2mx^2 + x 4m + 1 − (2m + 2) = 0$
syarat menyinggung adalah D=0
b^2 − 4ac = 0 ⇒ {(4m + 1)}^2 − 4 (−2m)( −2m − 2) = 0
⇒ 16m2 + 8m + 1 + 8m −2m − 2 = 0
⇒16m2 + 8m + 1 − 16m2 − 16m = 0
⇒ 8m = 1
⇔ m =1/8
Jadi persamaan garis singgungnya
y = mx − m − 1
⇔ y =1/8x −1/8−8/8
⇔ x − 8y − 9 = 0
15. Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...
A. 0,04 D. 0,32 B. 0,10 E. 0, 40 C. 0,16
Jawab
Jadi ada 4 pengambilan bola, dua kali dari kotak I dan dua kali dari kotak II, dan ada pengembalian Agar terambil satu bola merah, maka ada dua cara:
(1) 1 merah dari kotak I & semua putih dari kotak II atau
(2) semua putih dari kotak I & 1 merah dari kotak II
KOTAK I terdapat 12 bola putih =12 P
terdapat 3 bola merah = 3 M
peluang terambil bola putih adalah P(putih) = 12/15 = 4/5 dan
peluang terambil bola merah P(merah) = 3/15 = 1/5
KOTAK II terdapat 4 bola putih = 4 P
terdapat 3 bola merah = 4 M
P(putih) = P(merah) = 1/2
kembali ke pertanyaan, berapa peluang hanya satu bola merah terambil dari 4 pengambilan bola, 2 dari kotak I dan 2 dari kotak II
▪ Peluang terambil1 merah dari kotak I & semua putih dari kotak II
A. peluang 1 merah dari kotak I ada dua kasus lagi
Peluang MP → peluang terambil merah lalu putih =1/5.4/5 =4/25
Peluang PM → peluang terambil putih lalu merah =4/5.1/5 =4/25
Maka, peluang 1 merah dari kotak I ⇒4/25 + 4/25 =8/25
B. peluang semua putih dari kotak II
(PP) =1/2.1/2=1/4
Jadi peluang terambil 1 merah dari kotak I & semua putih dari kotak II = 8/25.1/4=8/100
▪ Peluang terambil semua putih dari kotak I dan 1 merah dari kotak II
A. peluang semua putih dari kotak I Peluang
(PP) =4/5.4/5=16/25
B. peluang 1 merah dari kotak II ada dua kasus lagi
Peluang(MP) =1/2.1/2=1/4
Peluang(PM) =1/2.1/2=1/4
Maka, peluang 1 merah dari kotak II ⇒1/4+1/4=1/2
Jadi peluang semua putih dari kotak I & 1 merah dari kotak II= 16/25.1/2=32/100
Jadi P kasus 1 + P kasus 2 = (8+32)/100 =40/100= 0.4
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.