Math Se 2018 MEXT Monbukagakusho
(2) $\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) + \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos(120^\circ+45^\circ) = (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) + \sqrt{3} + (\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}) = \frac{2\sqrt{2}}{4} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}$(3) Deret teleskopik: $\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{6} + \frac{1}{6}-\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{12}-\frac{1}{15}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{3}-\frac{1}{15}) = \frac{1}{3}(\frac{4}{15}) = \frac{4}{45}$(4) $-x < x^2 \implies x^2+x > 0 \implies x(x+1) > 0 \implies x > 0$ atau $x < -1$. $x^2 < 6 \implies -\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$. Irisan: $x \in (-2.45, -1) \cup (0, 2.45)$. Integer: $\{-2, 1, 2\}$, total 3.
(5) Digit pertama (5,6,7,8,9) ada 5 pilihan. Sisa 3 posisi dari 9 angka tersisa: $P(9,3) = 9 \times 8 \times 7 = 504$. Total $5 \times 504 = 2520$(6) $\vec{a}+\vec{b} = -\vec{c} \implies |\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2 \implies 1+1+2\vec{a}\cdot\vec{b} = 1 \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = -1/2$. $\cos \theta = -1/2 \implies \theta = 120^\circ$. $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 1+1-2(-1/2) = 3 \implies |\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{3}$(7) Selisih: 1, 2, 4, 8... ($2^{n-1}$). Suku ke-$n$: $3 + \sum_{i=0}^{n-2} 2^i = 3 + (2^{n-1}-1) = 2^{n-1}+2$. Suku ke-8: $2^7+2 = 130$. $2^{n-1}+2 = 1026 \implies 2^{n-1} = 1024 \implies n-1=10 \implies n=11$(8) (i) $f(-2) = 4+8+1 = 13$. (ii) $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. (iii) Luas $= \int_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}} -(x^2-4x+1) dx = \frac{1}{6}(2\sqrt{3})^3 = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3}$(9) $\vec{AB} = (-1, -2, 1)$, $\vec{AC} = (2, 2, 0)$. Luas $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-2, 2, 2)$
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
. Luas $= \sqrt{3}$
Soal 2:Pada $\triangle ABC$, gunakan aturan sinus: $BC/\sin 60^\circ = AC/\sin \angle ABC = 2R$. Karena $2AB=AC$, maka $AB = AC/2$. Dengan aturan kosinus pada $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos 60^\circ \Rightarrow 3 = (AC/2)^2 + AC^2 - 2(AC/2)(AC)(1/2) \Rightarrow 3 = AC^2/4 + AC^2 - AC^2/2 = 3AC^2/4$. Maka $AC^2 = 4$, sehingga $AC = 2$$2R = BC/\sin 60^\circ = \sqrt{3}/(\sqrt{3}/2) = 2$, maka $R = 1$Karena $BD=DC$, $\triangle BDC$ adalah segitiga sama kaki. Sudut $\angle BDC = 180^\circ - 2\angle DBC$. Karena $\angle DBC = \angle DAC$ (sudut keliling), dan $\angle DAC = \angle BAC - \angle BAD$. Dengan $AC=2, AB=1, BC=\sqrt{3}$, maka $\triangle ABC$ adalah segitiga siku-siku di $B$ ($\angle ABC=90^\circ$). $\angle BDC = 180^\circ - 2(30^\circ) = 120^\circ$
Luas $\triangle BDC = 1/2 \cdot BD \cdot DC \cdot \sin 120^\circ$. Karena $BD=DC$ dan $BC=\sqrt{3}$, maka $BD^2+DC^2=3 \Rightarrow 2BD^2=3 \Rightarrow BD=\sqrt{3/2}$. Luas $= 1/2 \cdot (3/2) \cdot (\sqrt{3}/2) = 3\sqrt{3}/8$$\vec{DC} \cdot \vec{CA} = |\vec{DC}| |\vec{CA}| \cos(180^\circ - \angle DCA)$. Dengan $\angle DCA = 30^\circ$, maka $\cos 150^\circ = -\sqrt{3}/2$. Hasilnya: $\sqrt{3/2} \cdot 2 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -3/\sqrt{2} = -3\sqrt{2}/2$Jawaban: (1) 1, (2) 2, (3) 120, (4) $3\sqrt{3}/8$, (5) $-3\sqrt{2}/2$Soal 3:Parabola terbuka ke bawah, maka $a < 0$Puncak di atas sumbu x, maka diskriminan $D = b^2 - 4ac > 0$, sehingga $4ac - b^2 < 0$$x=1$ memberikan $y > 0$, maka $a+b+c > 0$$x=-2$ memberikan $y < 0$, maka $4a-2b+c < 0$Titik potong sumbu y di bawah sumbu x, maka $c < 0$. Karena $a < 0$, maka $c/a > 0$Sumbu simetri $x = -b/2a > 1$. Karena $a < 0$, maka $-b/2a > 1 \Rightarrow b/2a < -1 \Rightarrow b/a < -2 < 0$$x=2$ adalah titik potong, maka $4a+2b+c=0$. Karena $c < 0$, $4a+2b > 0 \Rightarrow 2a+b > 0$. Untuk $b+4a$, karena $x=2$ adalah akar, $b+4a = -2a-c$. Karena $a<0, c<0$, maka $b+4a > 0$$2a+b > 0$ (dari langkah 7).Jawaban: (1) <, (2) <, (3) >, (4) <, (5) >, (6) <, (7) >, (8) >.
コメント
コメントを投稿