Math Se 2017 MEXT Monbukagakusho
Jawaban: (1) $3\sqrt{3}-2$, (2) $-2 < x < 5$, (3) $(x-a-b)(x-a+b)$, (4) 1$\sqrt[4]{9}$, 2$3\log_9 5$, (5) $\alpha+\beta=3, p=4$, (6) 60, (7) 138, (8) $x=2, y=3$, (9) (i) $x^2-4x+4$, (ii) 1, (iii) $2/3$PenjelasanMenyederhanakan ekspresi (1): $\sqrt{27} - \sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \frac{6}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - (\sqrt{12} + 2) + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2 + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2$Menyelesaikan pertidaksamaan (2): $|x - \frac{3}{2}| < \frac{7}{2} \Rightarrow -\frac{7}{2} < x - \frac{3}{2} < \frac{7}{2}$. Menambahkan $\frac{3}{2}$ ke semua ruas: $-2 < x < 5$Faktorisasi (3): $x^2 - 2ax + a^2 - b^2 = (x-a)^2 - b^2 = (x-a-b)(x-a+b)$Membandingkan nilai (4):$\sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = 3^{4/12} = \sqrt[12]{81}$, $\sqrt[4]{9} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{729}$, $\sqrt[7]{27} = 3^{3/7} = 3^{0.428...}$. Karena $1/2 > 3/7 > 1/3$, maka yang terbesar adalah $\sqrt[4]{9}$$3 = \log_3 27$, $2\log_3 5 = \log_3 25$, $3\log_9 5 = 3 \cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 9} = \frac{3}{2} \log_3 5 = \log_3 5^{1.5} = \log_3 \sqrt{125} \approx \log_3 11.18$. Terkecil adalah $3\log_9 5$Persamaan kuadrat (5): Dari $x^2 - 3x + p = 0$, $\alpha + \beta = 3$. $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 3^2 - 2p = 9 - 2p$. Jika $9 - 2p = 1$, maka $2p = 8 \Rightarrow p = 4$
Permutasi (6): Total angka 6, dengan pengulangan 2 (dua kali) dan 3 (tiga kali). Banyak cara = $\frac{6!}{2!3!} = \frac{720}{2 \cdot 6} = 60$Deret aritmatika (7): $a = -5, d = 3, u_n = 28$. $28 = -5 + (n-1)3 \Rightarrow 33 = 3(n-1) \Rightarrow n = 12$. Jumlah $S_{12} = \frac{12}{2}(-5 + 28) = 6(23) = 138$Vektor segaris (8): $\vec{AB} = (1, x-3, 3)$ dan $\vec{AC} = (y-1, -2, 6)$. Karena $\vec{AC} = 2\vec{AB}$, maka $y-1 = 2(1) \Rightarrow y=3$ dan $-2 = 2(x-3) \Rightarrow -1 = x-3 \Rightarrow x=2$Kalkulus (9):(i) $f'(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$(ii) $f'(x) \ge 0$ selalu, fungsi naik. $f(0)=1, f(-1) = -1/3 - 2 - 4 + 1 = -5.33$. Ada 1 akar real.(iii) $\int_{-1}^{1} (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x + 1) dx = [\frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{12} - \frac{2}{3} + 2 + 1) - (\frac{1}{12} + \frac{2}{3} + 2 - 1) = -4/3 + 2 = 2/3$
$AC^2 = 8^2 + 10^2 - 2(8)(10)(4/5) = 64 + 100 - 128 = 36 \implies AC = 6$
$\sin \angle ABC = \sqrt{1 - (4/5)^2} = 3/5$
Dengan aturan sinus, $\frac{6}{\sin \angle ABC} = \frac{10}{\sin \angle BAC} \implies \sin \angle BAC = \frac{10(3/5)}{6} = 1 \implies \angle BAC = 90^\circ$Jari-jari $R = \frac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \frac{6}{2(3/5)} = 5$$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{BM}) = |\vec{AB}|^2 + \vec{AB} \cdot \vec{BM} = 8^2 + 0 = 64$ (karena $\vec{AB} \perp \vec{BM}$ tidak benar, gunakan proyeksi: $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = |\vec{AB}||\vec{AM}|\cos \theta$. Karena $\angle BAC = 90^\circ$, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$. $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$, maka $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \frac{1}{2}|\vec{AB}|^2 = 32$).$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = -\vec{MA} \cdot \vec{BM} = -|\vec{BM}|^2 = -5^2 = -25$Jawaban: (1) 6, (2) 3/5, (3) 90, (4) 5, (5) 32, (6) -25.Soal 3:$y = a(x-1)(x-3)$. Substitusi $C(4,3): 3 = a(4-1)(4-3) \implies 3 = 3a \implies a=1$. Maka $y = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$. Jadi $a=1, b=-4, c=3$Garis $l$ melalui $(1,0)$ dan $(4,3)$. Gradien $m_l = \frac{3-0}{4-1} = 1$. Persamaan: $y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1$Garis $m$ melalui $(3,0)$ dengan gradien $m_m = -1/m_l = -1$. Persamaan: $y - 0 = -1(x - 3) \implies y = -x + 3$Titik potong $l$ dan $m$: $x - 1 = -x + 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2, y = 1$. Alas segitiga pada sumbu-x adalah jarak antara $x=1$ dan $x=3$, yaitu $3-1=2$. Tinggi segitiga adalah $y=1$. Luas $S = 1/2 \times 2 \times 1 = 1$Jawaban: (1) a=1, b=-4, c=3, (2) x-1, (3) -x+3, (4) 1.
コメント
コメントを投稿