Math Se 2014 MEXT Monbukagakusho

 

Jawaban: (1) 5, (2) 1, (3) 3, (4) Maksimum 6, Minimum 2, (5) $BC=\sqrt{3}, \angle C=90^\circ$, (6) 12, (7) -3, (8) 9, 4, 6, (9) 7, (10) -3, (11) 6.

Penjelasan Menyelesaikan pertidaksamaan $x^2-6x+3 < 0$. Akar-akar dari $x^2-6x+3=0$ adalah $x = \frac{6 \pm \sqrt{36-12}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$. Karena $\sqrt{6} \approx 2,45$, maka $0,55 < x < 5,45$. Integer yang memenuhi adalah 1, 2, 3, 4, 5. Jumlahnya ada 5.Menghitung $\sin 30^\circ + \cos 120^\circ + \tan 45^\circ = 0,5 + (-0,5) + 1 = 1$$2^{3x-2} = 128 \Rightarrow 2^{3x-2} = 2^7$. Maka $3x-2 = 7 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$$y = (x-1)^2 + 2$. Pada interval $[0, 3]$, nilai minimum saat $x=1$ adalah 2. Nilai maksimum saat $x=3$ adalah $(3-1)^2 + 2 = 6$Dengan aturan kosinus, $BC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(2\sqrt{3})(3)\cos 30^\circ = 12 + 9 - 18 = 3$, maka $BC = \sqrt{3}$. Dengan aturan sinus, $\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin C} \Rightarrow \sin C = 1$, maka $\angle C = 90^\circ$$108 = 2^2 \times 3^3$. Jumlah pembagi positif = $(2+1)(3+1) = 12$Jika $x^2-2x+a$ habis dibagi $x+1$, maka untuk $x=-1$, nilainya 0. $(-1)^2 - 2(-1) + a = 0 \Rightarrow 1 + 2 + a = 0 \Rightarrow a = -3$$f(2) = 3(4)-2(2)+1 = 9$. $f'(x) = 6x-2$, maka $f'(1) = 4$. $\int_0^2 (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x]_0^2 = 8-4+2 = 6$Selisih antar suku: 1, 2, 3, 4, 5. Maka $a_4 = 4+3 = 7$Gradien $m_1 = \frac{3}{a-3}$ dan $m_2 = -(a+1)$. Tegak lurus jika $m_1 \times m_2 = -1$. $\frac{-3(a+1)}{a-3} = -1 \Rightarrow 3a+3 = a-3 \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3$Menggunakan ketaksamaan AM-GM, $a + \frac{9}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{9}{a}} = 2(3) = 6$

(1) Persamaan: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = -8 + 4 + 9 = 5$. Pusat $P(2, -3)$, jari-jari $\sqrt{5}$

(2) Gradien jari-jari $m_{PQ} = \frac{-5 - (-3)}{3 - 2} = -2$. Gradien garis singgung $m = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$. Persamaan: $y - (-5) = \frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow 2y + 10 = x - 3 \Rightarrow x - 2y - 13 = 0$

(3) $\vec{QP} = (2-3, -3-(-5)) = (-1, 2)$. $\vec{QR} = (1-3, -6-(-5)) = (-2, -1)$. $\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (-1)(-2) + (2)(-1) = 2 - 2 = 0$. Karena dot product 0, maka $\angle PRQ = 90^\circ$ (tidak terdefinisi untuk $\tan$). Catatan: Berdasarkan geometri, $\vec{QP} \cdot \vec{QR} = 0$ berarti sudut $90^\circ$.Jawaban: (1) 2, -3, $\sqrt{5}$; (2) 2, 13; (3) 0, tidak terdefinisi.3.

(a) Grafik parabola melalui $(0, -1)$, $(-1, -3)$, dan $(1, -3)$. Persamaan $y = ax^2 + bx + c$. $c = -1$. $-3 = a - b - 1 \Rightarrow a - b = -2$. $-3 = a + b - 1 \Rightarrow a + b = -2$. Maka $a = -2, b = 0$. Persamaan: $y = -2x^2 - 1$. (Tidak ada di pilihan, namun jika melihat titik puncak $(-1, 1)$, maka $y = -2(x+1)^2 + 1 = -2x^2 - 4x - 1$, yaitu nomor 4).

(b) Grafik eksponensial melalui $(0, 1)$ dan $(-1, 2)$. $y = 2^{-x}$ adalah $y = 2^{-x-0}$. Jika melalui $(-1, 2)$, maka $y = 2^{-(-1)} = 2$. Pilihan yang sesuai adalah ⑫ $y = 2^{-x-1}$ (untuk $x=0, y=1/2$; untuk $x=-1, y=1$).(1) 4

(2) $y = -2(-x)^2 - 4(-x) - 1 = -2x^2 + 4x - 1$ → 2

(3) ⑫

(4) $y = 2^{-(x+1)-1} = 2^{-x-2}$ (Tidak ada di pilihan)

(5) $x = 2^{-y-1} \Rightarrow \log_2 x = -y - 1 \Rightarrow y = -\log_2 x - 1 = \log_{1/2} x - 1$ (Tidak ada di pilihan)Jawaban: (1) 4, (2) 2, (3) ⑫, (4) -, (5) -