Math Ko 2019

https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

Faktorkan $x^2(x-2) - 1(x-2) = 0 \Rightarrow (x^2-1)(x-2) = 0 \Rightarrow (x-1)(x+1)(x-2) = 0$Jawaban: $x = 1, -1, 2$$\cos x(1 - 2\cos x) = 0$.$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.$\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$Jawaban: $x = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$$|\sqrt{8}-3| = |2\sqrt{2}-3|$. Karena $3 > 2\sqrt{2}$, maka $3-2\sqrt{2}$.$|2-\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2}$.$(3-2\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2}) = 5-3\sqrt{2}$Jawaban: $5-3\sqrt{2}$$\log_2(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x-1)}{2}$.$2\log_2(x-1) = \log_2(x-1) \Rightarrow \log_2(x-1) = 0$.$x-1 = 2^0 = 1 \Rightarrow x = 2$Jawaban: $x = 2$
 

Gunakan identitas penjumlahan kosinus $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$$f(x) = 2 \cos(\frac{x + x + \pi/3}{2}) \cos(\frac{x - (x + \pi/3)}{2}) = 2 \cos(x + \pi/6) \cos(-\pi/6)$Karena $\cos(-\pi/6) = \sqrt{3}/2$, maka $f(x) = 2 \cos(x + \pi/6) \cdot (\sqrt{3}/2) = \sqrt{3} \cos(x + \pi/6)$Nilai maksimum kosinus adalah 1, sehingga $m = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$Maksimum terjadi saat $x + \pi/6 = 0$ (atau kelipatan $2\pi$). Maka $x = -\pi/6$. Dalam rentang $0 \leq x < 2\pi$, $x = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6$Jawaban: m = \sqrt{3}, x = 11\pi/6Tulis ulang limit agar sesuai dengan bentuk $(1+t)^{1/t}$$\lim_{h\to 0} (1+2h)^{1/h} = \lim_{h\to 0} ((1+2h)^{1/2h})^2$Misalkan $t = 2h$. Saat $h \to 0$, maka $t \to 0$Substitusi ke dalam limit: $(\lim_{t\to 0} (1+t)^{1/t})^2 = e^2$Jawaban: e^2Nyatakan persamaan garis dalam parameter $k$: $x = 6k+1, y = 2k+1, z = 3k+2$Substitusikan ke persamaan bidang: $(6k+1) + 2(2k+1) - 4(3k+2) + 1 = 0$Selesaikan untuk $k$: $6k + 1 + 4k + 2 - 12k - 8 + 1 = 0 \Rightarrow -2k - 4 = 0 \Rightarrow k = -2$Hitung koordinat: $x = 6(-2)+1 = -11$, $y = 2(-2)+1 = -3$, $z = 3(-2)+2 = -4$Jawaban: x = -11, y = -3, z = -4Misalkan titik singgung adalah $(a, \ln a)$. Gradien garis singgung adalah $f'(a) = 1/a$Persamaan garis singgung: $y - \ln a = \frac{1}{a}(x - a)$Karena garis melalui $(0,0)$, substitusikan $x=0, y=0$: $0 - \ln a = \frac{1}{a}(0 - a) \Rightarrow -\ln a = -1 \Rightarrow \ln a = 1 \Rightarrow a = e$Gradien $m = 1/e$. Persamaan garis: $y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \Rightarrow y = \frac{1}{e}x$Jawaban: y = \frac{1}{e}x

Jawaban: 9) 3/4; 10) -2; 11) (3-x)/(2(x^2-1)); 12) 0PenjelasanUntuk deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$, gunakan dekomposisi pecahan parsial: $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$. Deret ini adalah deret teleskopik: $\frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots]$. Semua suku akan saling menghilangkan kecuali suku pertama dan kedua dari bagian positif, yaitu $\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$Untuk limit $\lim_{x\to -\infty} \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}$, bagi pembilang dan penyebut dengan $|x|$. Karena $x \to -\infty$, maka $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. Limit menjadi $\lim_{x\to -\infty} \frac{2 + 1/x}{-\sqrt{1 + 1/x^2}} = \frac{2+0}{-1} = -2$Untuk $f(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x-1}}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\ln(x-1) - \ln(x+1)$. Gunakan aturan turunan logaritma natural: $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1 - 2(x-1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{3-x}{2(x^2-1)}$Untuk integral $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(3x)\sin(x) dx$, gunakan identitas trigonometri $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$. Integral menjadi $\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x)]_{-\pi}^{\pi}$. Karena $\sin(2\pi) = \sin(-2\pi) = 0$ dan $\sin(4\pi) = \sin(-4\pi) = 0$, hasilnya adalah 0.

Jawaban:$A^n = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{1}{2})^n \end{pmatrix}$$S = \begin{pmatrix} 1-(\frac{1}{2})^n & 0 \\ 0 & 1-(\frac{1}{2})^n \end{pmatrix}$$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2^n}{2^n-1} & 0 \\ 0 & \frac{2^n}{2^n-1} \end{pmatrix}$PenjelasanMenghitung $A^n$Matriks $A$ adalah matriks skalar $\frac{1}{2}I$, di mana $I$ adalah matriks identitas $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Berdasarkan sifat perpangkatan matriks skalar, $A^n = (\frac{1}{2}I)^n = (\frac{1}{2})^n I = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{1}{2})^n \end{pmatrix}$Menghitung $S = \sum_{k=1}^{n} A^k$Deret ini merupakan deret geometri matriks dengan suku pertama $a = A = \frac{1}{2}I$ dan rasio $r = A = \frac{1}{2}I$. Rumus jumlah $n$ suku pertama adalah $S = A(I - A^n)(I - A)^{-1}$$I - A = \begin{pmatrix} 1-\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1-\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}I$Inversnya adalah $(I - A)^{-1} = 2I$Maka, $S = (\frac{1}{2}I)(I - (\frac{1}{2})^n I)(2I) = I - (\frac{1}{2})^n I = \begin{pmatrix} 1-(\frac{1}{2})^n & 0 \\ 0 & 1-(\frac{1}{2})^n \end{pmatrix}$Menghitung $S^{-1}$Karena $S$ adalah matriks diagonal dengan elemen $d = 1 - (\frac{1}{2})^n$, maka inversnya adalah matriks diagonal dengan elemen $\frac{1}{d}$

$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{1-(1/2)^n} & 0 \\ 0 & \frac{1}{1-(1/2)^n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2^n}{2^n-1} & 0 \\ 0 & \frac{2^n}{2^n-1} \end{pmatrix}$

Jawaban: 1) 2/3, 2) 1/(2k+1), 3) 1/(2k), 4) \piPenjelasanMenghitung $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx$Menggunakan rumus reduksi Wallis atau integrasi parsial, kita tahu bahwa $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = I_n$. Untuk $n=3$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 x)\sin x \, dx$. Misalkan $u = \cos x$, maka $du = -\sin x \, dx$. Batas integral menjadi $u=1$ ke $u=0$. Hasilnya adalah $\int_{0}^{1} (1-u^2) \, du = [u - \frac{1}{3}u^3]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$Mencari $a_k$ untuk $I_{2k+1} \cdot I_{2k} = \frac{\pi}{2} \cdot a_k$Berdasarkan sifat integral Wallis, $I_n \cdot I_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$. Untuk $n = 2k+1$, maka $I_{2k+1} \cdot I_{2k} = \frac{\pi}{2(2k+1)}$. Jadi, $a_k = \frac{1}{2k+1}$Mencari $b_k$ untuk $I_{2k-1} \cdot I_{2k} = \frac{\pi}{2} \cdot b_k$Menggunakan hubungan yang sama dengan langkah sebelumnya, untuk $n = 2k$, maka $I_{2k} \cdot I_{2k-1} = \frac{\pi}{2(2k)}$. Jadi, $b_k = \frac{1}{2k}$Menghitung limit.Diketahui $I_{2k+1} < I_{2k} < I_{2k-1}$. Maka $1 < \frac{I_{2k}}{I_{2k+1}} < \frac{I_{2k-1}}{I_{2k+1}}$Kita tahu $\frac{I_{2k-1}}{I_{2k+1}} = \frac{2k+1}{2k} = 1 + \frac{1}{2k}$. Saat $k \to \infty$, rasio ini mendekati 1, sehingga $\frac{I_{2k}}{I_{2k+1}} \to 1$Rasio tersebut adalah $\frac{\frac{2k-1}{2k} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{\frac{2k}{2k+1} \cdots \frac{2}{3}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{(2k+1)!!}{(2k)!!} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{[(2k-1)!!]^2 (2k+1)}{[(2k)!!]^2}$Dengan manipulasi aljabar, limit dari ekspresi yang diminta adalah $\pi$