Math Ko 2017 MEXT Monbukagakusho

 https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

Jawaban:$x = 1, -1, -2$$x = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$$x = 1$$x < 0$PenjelasanMenyelesaikan persamaan $x^{3}+2x^{2}-x-2=0$Faktorkan dengan pengelompokan: $x^2(x+2) - 1(x+2) = 0$, sehingga $(x^2-1)(x+2) = 0$Maka $(x-1)(x+1)(x+2) = 0$. Nilai $x$ adalah $1, -1, -2$Menyelesaikan persamaan $\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$Gunakan identitas sudut rangkap: $2\sin x \cos x = \sqrt{3}\cos x$$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$Jika $\cos x = 0$, maka $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$Jika $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, maka $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$Menyelesaikan persamaan $2\log_{3}(x+2) = \log_{3}(10-x)$Gunakan sifat logaritma: $\log_{3}(x+2)^2 = \log_{3}(10-x)$Maka

Maka $(x+2)^2 = 10-x \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 10 - x \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0$Faktorkan: $(x+6)(x-1) = 0$. Karena syarat numerus $x+2 > 0$ dan $10-x > 0$, maka $x > -2$ dan $x < 10$Jadi, $x = 1$ (nilai $x = -6$ tidak memenuhi).Menyelesaikan pertidaksamaan $3^{2x+1} - 2 \cdot 3^x - 1 < 0$Misalkan $u = 3^x$ (dengan $u > 0$), maka $3u^2 - 2u - 1 < 0$Faktorkan: $(3u+1)(u-1) < 0$Akar-akarnya adalah $u = -1/3$ dan $u = 1$. Karena pertidaksamaan $< 0$, maka $-1/3 < u < 1$

Karena $u = 3^x > 0$, maka $0 < 3^x < 1$$3^x < 3^0 \Rightarrow x < 0$

Gunakan sifat perubahan basis logaritma $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. Maka, $\log_{27} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 27} = \frac{\log_3 x}{3}$ dan $\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$Substitusikan ke dalam pertidaksamaan: $(\log_3 x)(\frac{\log_3 x}{3}) - \frac{\log_3 x}{2} + \frac{1}{6} < 0$Misalkan $u = \log_3 x$. Persamaan menjadi $\frac{u^2}{3} - \frac{u}{2} + \frac{1}{6} < 0$. Kalikan dengan 6 untuk menyederhanakan: $2u^2 - 3u + 1 < 0$Faktorkan persamaan kuadrat: $(2u - 1)(u - 1) < 0$. Akar-akarnya adalah $u = 1/2$ dan $u = 1$. Maka, $1/2 < u < 1$Kembalikan ke variabel $x$: $1/2 < \log_3 x < 1$. Berarti $3^{1/2} < x < 3^1$, sehingga $\sqrt{3} < x < 3$Jawaban: $\sqrt{3} < x < 3$Vektor $\vec{OA} = (1, 1)$ dan $\vec{OB} = (x, -1)$. Panjang vektor $|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ dan $|\vec{OB}| = \sqrt{x^2 + (-1)^2} = \sqrt{x^2 + 1}$Gunakan rumus dot product: $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos(\pi/3)$$(1)(x) + (1)(-1) = (\sqrt{2})(\sqrt{x^2 + 1})(1/2) \Rightarrow x - 1 = \frac{\sqrt{2(x^2 + 1)}}{2}$Kuadratkan kedua sisi: $(x - 1)^2 = \frac{2(x^2 + 1)}{4} \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = \frac{x^2 + 1}{2}$$2x^2 - 4x + 2 = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0$. Gunakan rumus ABC: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Karena $\angle AOB = \pi/3$ (sudut lancip), periksa nilai dot product positif: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Maka $x = 2 + \sqrt{3}$Jawaban: $2 + \sqrt{3}$Tulis ulang persamaan dalam bentuk standar $(x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = r^2$Kelompokkan variabel: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) + z^2 = -1$Lengkapi kuadrat sempurna: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + z^2 = -1 + 1 + 9$$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 9$Radius $r = \sqrt{9} = 3$

Jawaban: 3Misalkan titik singgung adalah $(a, \frac{1}{2}a^2 + 3)$. Gradien garis singgung adalah turunan $y' = x$. Di titik $a$, gradien $m = a$Persamaan garis singgung: $y - (\frac{1}{2}a^2 + 3) = a(x - a)$Garis melalui $(0,0)$, maka $0 - (\frac{1}{2}a^2 + 3) = a(0 - a) \Rightarrow -\frac{1}{2}a^2 - 3 = -a^2$$\frac{1}{2}a^2 = 3 \Rightarrow a^2 = 6 \Rightarrow a = \sqrt{6}$ (karena $x \geq 0$).Gradien $m = \sqrt{6}$. Persamaan garis: $y = \sqrt{6}x$Jawaban: $y = \sqrt{6}x$

Jawaban: 9) 100/101; 10) 4; 11) -9/8; 12) (3e^4 + 1)/4PenjelasanUntuk soal nomor 9, gunakan metode pecahan parsial. Kita tahu bahwa $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. Maka, deret tersebut menjadi teleskopik: $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = 1 - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}$Untuk soal nomor 10, gunakan faktorisasi selisih dua kuadrat. $16x^4 - 1 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$. Maka, $\lim_{x\to 1/2} \frac{(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)}{2x-1} = \lim_{x\to 1/2} (2x+1)(4x^2+1) = (1+1)(1+1) = 4$Untuk soal nomor 11, gunakan aturan rantai. $f(x) = (\cos x)^3$, maka $f'(x) = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$. Substitusikan $x = \pi/6$: $f'(\pi/6) = -3(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 (\frac{1}{2}) = -3(\frac{3}{4})(\frac{1}{2}) = -\frac{9}{8}$

Untuk soal nomor 12, gunakan integral parsial $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Misalkan $u = \ln x$ dan $dv = x \, dx$, maka $du = \frac{1}{x} \, dx$ dan $v = \frac{1}{2}x^2$$\int_1^{e^2} x \ln x \, dx = [\frac{1}{2}x^2 \ln x]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = [\frac{1}{2}e^4(2) - 0] - [\frac{1}{4}x^2]_1^{e^2} = e^4 - (\frac{1}{4}e^4 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}e^4 + \frac{1}{4}$

$f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$$\int f(x) dx = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$$\frac{1}{2}$Penjelasan

Menentukan turunan $f'(x)$ menggunakan aturan perkalian (product rule) dan aturan rantai (chain rule).Diberikan $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$Misalkan $u = x$ dan $v = e^{-x^2}$. Maka $u' = 1$ dan $v' = e^{-x^2} \cdot (-2x)$$f'(x) = u'v + uv' = (1)(e^{-x^2}) + (x)(-2x e^{-x^2}) = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$Menentukan integral tak tentu $\int x e^{-x^2} dx$ menggunakan metode substitusi.Misalkan $u = -x^2$, maka $du = -2x dx$, yang berarti $x dx = -\frac{1}{2} du$$\int x e^{-x^2} dx = \int e^u (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$Menghitung limit integral tentu $\lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} x e^{-x^2} dx$Menggunakan hasil integral dari$\int_{0}^{a} x e^{-x^2} dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} \right]_{0}^{a} = (-\frac{1}{2} e^{-a^2}) - (-\frac{1}{2} e^0) = -\frac{1}{2} e^{-a^2} + \frac{1}{2}$Sekarang, hitung limitnya saat $a \to \infty$:$\lim_{a \to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-a^2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(0) = \frac{1}{2}$