Math Ko 2016 MEXT Monbukagakusho

 https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

Jawaban: 1) $8\sqrt{3}$; 2) $x = -2, -1, 4$; 3) $x = \pi/3, \pi, 5\pi/3; 4)$ $x = -2$

Penjelasan Menyederhanakan $x$ dan $y$

$x = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \cdot$ $\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} =$ $\frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3}$$=\frac{12+6\sqrt{3}}{6} = 2+\sqrt{3}$

$y = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \cdot$$ \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} $

$= \frac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3} = \frac{12-6\sqrt{3}}{6} = 2-\sqrt{3}$

Maka $x^2-y^2 = (x+y)(x-y) $

$= ((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3}))((2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})) $

$= (4)$$(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$

Menyelesaikan $x^3-x^2-10x-8=0$

Menggunakan teorema faktor, kita uji $x=-1$: $(-1)^3-(-1)^2-10(-1)-8 = -1-1+10-8 = 0$

Maka $(x+1)$ adalah faktor. Pembagian polinomial menghasilkan $(x+1)(x^2-2x-8) = 0$

Faktorkan lebih lanjut: $(x+1)(x-4)(x+2) = 0$

Nilai $x$ adalah $-2, -1, 4$

Menyelesaikan $2\sin^2 x - \cos x = 1$Gunakan identitas $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$:$2(1-\cos^2 x) - \cos x = 1 \Rightarrow 2 - 2\cos^2 x - \cos x = 1 \Rightarrow 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$Misalkan $u = \cos x$: $2u^2+u-1 = 0 \Rightarrow (2u-1)(u+1) = 0$$u = 1/2$ atau $u = -1$Jika $\cos x = 1/2$, maka $x = \pi/3, 5\pi/3$. Jika $\cos x = -1$, maka $x = \pi$Menyelesaikan $2^{2x+2} + 3 \cdot 2^x - 1 = 0$$4 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x - 1 = 0$Misalkan $p = 2^x$: $4p^2 + 3p - 1 = 0 \Rightarrow (4p-1)(p+1) = 0$$p = 1/4$ atau $p = -1$Karena $2^x$ harus positif, maka $2^x = 1/4 \Rightarrow 2^x = 2^{-2} \Rightarrow x = -2$

Tentukan rumus umum suku ke-$n$ dari barisan geometri tersebut. Diketahui $a_1 = 3$ dan $a_{n+1} = 2a_n$, maka ini adalah barisan geometri dengan rasio $r = 2$. Rumus umumnya adalah $a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$Hitung nilai setiap suku dari $n=1$ sampai $n=5$:$a_1 = 3$$a_2 = 3 \cdot 2 = 6$$a_3 = 3 \cdot 4 = 12$$a_4 = 3 \cdot 8 = 24$$a_5 = 3 \cdot 16 = 48$Hitung nilai $\sum_{n=1}^{5}(a_n - 5) = (a_1-5) + (a_2-5) + (a_3-5) + (a_4-5) + (a_5-5)$$= (3-5) + (6-5) + (12-5) + (24-5) + (48-5) = (-2) + 1 + 7 + 19 + 43 = 68$

Jawaban: 68Substitusi langsung $x=0$ ke dalam fungsi: $\sqrt{0^2+4(0)+5} - \sqrt{0^2+0} = \sqrt{5} - 0 = \sqrt{5}$Karena hasil substitusi langsung menghasilkan nilai yang terdefinisi (bukan bentuk tak tentu), maka limit tersebut adalah nilai fungsi saat $x=0$

Jawaban: \sqrt{5}Tulis ulang fungsi $f(x) = \cos x \cdot (e^x)^{-1/2} = \cos x \cdot e^{-x/2}$Gunakan aturan perkalian turunan $(uv)' = u'v + uv'$:$f'(x) = (-\sin x)(e^{-x/2}) + (\cos x)(-\frac{1}{2}e^{-x/2})$Substitusi $x=0$:$f'(0) = (-\sin 0)(e^0) + (\cos 0)(-\frac{1}{2}e^0) = (0)(1) + (1)(-\frac{1}{2}) = -1/2$Jawaban: -1/2Gunakan teknik integral parsial $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Misalkan $u = \ln x$ maka $du = \frac{1}{x} dx$, dan $dv = (3x^2-4x) dx$ maka $v = x^3 - 2x^2$Terapkan rumus: $\int (3x^2-4x)\ln x \, dx = (x^3-2x^2)\ln x - \int (x^3-2x^2) \cdot \frac{1}{x} \, dx$$= (x^3-2x^2)\ln x - \int (x^2-2x) \, dx = (x^3-2x^2)\ln x - (\frac{1}{3}x^3 - x^2)$Hitung integral tentu dari 1 sampai 2:$[(2^3-2(2^2))\ln 2 - (\frac{1}{3}(2^3) - 2^2)] - [(1^3-2(1^2))\ln 1 - (\frac{1}{3}(1^3) - 1^2)]$

$= [(8-8)\ln 2 - (\frac{8}{3} - 4)] - [0 - (\frac{1}{3} - 1)] = [0 - (-\frac{4}{3})] - [-(-\frac{2}{3})] = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Jawaban: 2/3