Math Ko 2015 MEXT Monbukagakusho

 

Jawaban:$x = -1, \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$x = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$$-1 < x < 0$$\frac{1}{2} < x < 1$PenjelasanMenyelesaikan persamaan $x^{3}+4x^{2}+4x+1=0$Persamaan ini dapat difaktorkan dengan mengelompokkan suku-suku: $(x^3+1) + (4x^2+4x) = 0$Menggunakan rumus jumlah pangkat tiga: $(x+1)(x^2-x+1) + 4x(x+1) = 0$Faktorkan $(x+1)$: $(x+1)(x^2-x+1+4x) = (x+1)(x^2+3x+1) = 0$Akar pertama adalah $x = -1$. Untuk $x^2+3x+1=0$, gunakan rumus kuadrat: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$Menyelesaikan $\cos 2x + \cos x = 0$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$Gunakan identitas sudut rangkap $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$Misalkan $u = \cos x$, maka $2u^2 + u - 1 = 0 \Rightarrow (2u-1)(u+1) = 0$Maka $\cos x = 1/2$ atau $\cos x = -1$Untuk $\cos x = 1/2$, $x = \pi/3, 5\pi/3$. Untuk $\cos x = -1$, $x = \pi$Menyelesaikan $3^{x+1} + \frac{1}{3^x} < 4$Misalkan $u = 3^x$ (dengan $u > 0$): $3u + \frac{1}{u} < 4$Kalikan dengan $u$: $3u^2 - 4u + 1 < 0 \Rightarrow (3u-1)(u-1) < 0$Maka $1/3 < u < 1$Substitusi kembali $3^{-1} < 3^x < 3^0$, sehingga $-1 < x < 0$Menyelesaikan $\log_2 \sqrt{2x-1} < \log_4 x$

Syarat: $2x-1 > 0 \Rightarrow x > 1/2$ dan $x > 0$, jadi $x > 1/2$Ubah basis logaritma: $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{1}{2} \log_2 x = \log_2 \sqrt{x}$Pertidaksamaan menjadi $\log_2 \sqrt{2x-1} < \log_2 \sqrt{x}$Maka $\sqrt{2x-1} < \sqrt{x} \Rightarrow 2x-1 < x \Rightarrow x < 1$Irisan syarat $1/2 < x < 1$

Jawaban:

5) 11

6) 80

7) s = -2, t = 3

8) y = \frac{e}{2}xPenjelasanUntuk soal nomor 5, gunakan metode merasionalkan penyebut. Pecahan $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ dikalikan dengan $\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$

menghasilkan $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. Maka, deret tersebut menjadi teleskopik: $(\sqrt{1}-\sqrt{0}) + (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + \dots + (\sqrt{121}-\sqrt{120})$. Semua suku saling meniadakan kecuali $-\sqrt{0}$ dan $\sqrt{121}$. Hasilnya adalah $11 - 0 = 11$Untuk soal nomor 6, gunakan prinsip inklusi-eksklusi. Total bilangan adalah 200. Bilangan yang habis dibagi 2 ada $200/2 = 100$. Bilangan yang habis dibagi 5 ada $200/5 = 40$. Bilangan yang habis dibagi 2 dan 5 (yaitu 10) ada $200/10 = 20$. Bilangan yang habis dibagi 2 atau 5 adalah $100 + 40 - 20 = 120$. Maka, bilangan yang tidak habis dibagi 2 maupun 5 adalah $200 - 120 = 80$Untuk soal nomor 7, gunakan syarat tegak lurus yaitu dot product sama dengan nol.$\vec{c} \cdot \vec{a} = 1(-3) + 3(1-s) - 2(t) = 0 \Rightarrow -3 + 3 - 3s - 2t = 0 \Rightarrow -3s - 2t = 0$$\vec{c} \cdot \vec{b} = 2(-3) + 1(1-s) + 1(t) = 0 \Rightarrow -6 + 1 - s + t = 0 \Rightarrow -s + t = 5$Dari $-s + t = 5$, maka $t = s + 5$. Substitusi ke persamaan pertama: $-3s - 2(s+5) = 0 \Rightarrow -5s = 10 \Rightarrow s = -2$. Maka $t = -2 + 5 = 3$Untuk soal nomor 8, misalkan titik singgung adalah $(a, e^{a/2})$. Gradien garis singgung adalah turunan $y' = \frac{1}{2}e^{x/2}$, sehingga $m = \frac{1}{2}e^{a/2}$. Persamaan garis melalui $(0,0)$ adalah $y = mx$, maka $e^{a/2} = (\frac{1}{2}e^{a/2})a$. Karena $e^{a/2} \neq 0$, bagi kedua ruas dengan $e^{a/2}$ didapat $1 = a/2$, sehingga $a = 2$. Gradien $m = \frac{1}{2}e^{2/2} = \frac{e}{2}$. Persamaan garisnya adalah $y = \frac{e}{2}x$

Mengidentifikasi pola barisan. Barisan ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a_1 = 5$ dan rasio $r = \frac{3}{4}$Menggunakan rumus

jumlah deret geometri tak hingga $S = \frac{a_1}{1-r}$ karena $|r| < 1$Substitusi nilai: $S = \frac{5}{1 - 3/4} = \frac{5}{1/4} = 20$Jawaban: 20Gunakan perkalian sekawan untuk menyederhanakan limit: $\frac{1-\sqrt{1-\sin x}}{x} \cdot \frac{1+\sqrt{1-\sin x}}{1+\sqrt{1-\sin x}} = \frac{1-(1-\sin x)}{x(1+\sqrt{1-\sin x})}$Sederhanakan menjadi $\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{1+\sqrt{1-\sin x}}$Gunakan sifat limit $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ dan substitusi $x=0$: $1 \cdot \frac{1}{1+\sqrt{1-0}} = \frac{1}{2}$Jawaban: 1/2Tentukan turunan pertama $f'(x) = 1 - \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = 1 - \frac{2}{2x+1}$Selesaikan pertidaksamaan $1 - \frac{2}{2x+1} < 0 \implies \frac{2x+1-2}{2x+1} < 0 \implies \frac{2x-1}{2x+1} < 0$Tentukan titik kritis $x = 1/2$ dan $x = -1/2$. Uji interval pada garis bilangan: $-1/2 < x < 1/2$Jawaban: -1/2 < x < 1/2Gunakan teknik integral parsial $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Misalkan $u = x \implies du = dx$ dan $dv = \sin x \, dx \implies v = -\cos x$Terapkan rumus: $[-x \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) \, dx = [-x \cos x]_0^\pi + [\sin x]_0^\pi$Hitung nilai batas: $(-\pi \cos \pi - (-0 \cos 0)) + (\sin \pi - \sin 0) = (-\pi(-1) - 0) + (0 - 0) = \pi$Jawaban: \pi

a = 1/√2; 2) n = 6; 3) A^2014 = (0 1 / -1 0)PenjelasanTentukan $A^2$$A = a \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$A^2 = a^2 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = a^2 \begin{pmatrix} 1-1 & -1-1 \\ 1+1 & -1+1 \end{pmatrix} = a^2 \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$Tentukan $A^4$ dan gunakan kondisi $A^4 + I = 0$$A^4 = (A^2)^2 = (a^2)^2 \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = a^4 \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = -4a^4 I$

Dari $A^4 + I = 0$, maka $-4a^4 I + I = 0$, sehingga $4a^4 = 1$Karena $a > 0$, maka $a^4 = 1/4$, sehingga $a^2 = 1/2$ dan $a = 1/\sqrt{2}$Selesaikan bagian 2.$A^2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$A^4 = (A^2)^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$A^8 = (-I)^2 = I$Kita mencari $n$ terkecil sehingga $A^n \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$Untuk $n=1: A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$Untuk $n=2: A^2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$Untuk $n=3: A^3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$Untuk $n=4: A^4 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -I \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$Untuk $n=6: A^6 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = A^2 \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$Selesaikan bagian 3.$A^{2014} = A^{4 \times 503 + 2} = (A^4)^{503} \times A^2 = (-I)^{503} \times A^2 = -I \times A^2 = -A^2$$-A^2 = -\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Jawaban:

5) 11

6) 80

7) s = -2, t = 3

8) y = \frac{e}{2}xPenjelasanUntuk soal nomor 5, gunakan teknik merasionalkan penyebut pada suku umum $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$. Kalikan pembilang dan penyebut dengan $(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ sehingga diperoleh $\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$Tuliskan deret tersebut sebagai teleskopik: $(\sqrt{1}-\sqrt{0}) + (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{121}-\sqrt{120})$. Semua suku akan saling menghilangkan kecuali $-\sqrt{0}$ dan $\sqrt{121}$. Hasilnya adalah $\sqrt{121} - 0 = 11$Untuk soal nomor 6, gunakan prinsip inklusi-eksklusi. Total bilangan adalah 200. Bilangan yang habis dibagi 2 ada $\lfloor 200/2 \rfloor = 100$. Bilangan yang habis dibagi 5 ada $\lfloor 200/5 \rfloor = 40$. Bilangan yang habis dibagi 2 dan 5 (yaitu 10) ada $\lfloor 200/10 \rfloor = 20$Jumlah bilangan yang habis dibagi 2 atau 5 adalah $100 + 40 - 20 = 120$. Maka, bilangan yang tidak habis dibagi 2 maupun 5 adalah $200 - 120 = 80$Untuk soal nomor 7, syarat tegak lurus adalah hasil kali titik (dot product) sama dengan nol. $\vec{c} \cdot \vec{a} = 1(-3) + 3(1-s) - 2(t) = 0 \Rightarrow -3 + 3 - 3s - 2t = 0 \Rightarrow 3s + 2t = 0$$\vec{c} \cdot \vec{b} = 2(-3) + 1(1-s) + 1(t) = 0 \Rightarrow -6 + 1 - s + t = 0 \Rightarrow -s + t = 5$. Dari persamaan kedua, $t = s + 5$. Substitusi ke persamaan pertama: $3s + 2(s+5) = 0 \Rightarrow 5s = -10 \Rightarrow s = -2$. Maka $t = -2 + 5 = 3$Untuk soal nomor 8, misalkan titik singgung adalah $(a, e^{a/2})$. Gradien garis singgung adalah turunan $y' = \frac{1}{2}e^{x/2}$, sehingga $m = \frac{1}{2}e^{a/2}$. Persamaan garis melalui $(0,0)$ adalah $y = mx$, maka $e^{a/2} = (\frac{1}{2}e^{a/2})a$Bagi kedua ruas dengan $e^{a/2}$ (karena tidak nol), diperoleh $1 = a/2$, sehingga $a = 2$. Gradien $m = \frac{1}{2}e^{2/2} = \frac{e}{2}$. Persamaan garisnya adalah $y = \frac{e}{2}x$