Math Ko 2014 MEXT Monbukagakusho

 Rasionalkan penyebut untuk $x$ dan $y$$x = \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{5+4+4\sqrt{5}}{5-4} = 9+4\sqrt{5}$$y = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \cdot \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{5+4-4\sqrt{5}}{5-4} = 9-4\sqrt{5}$Hitung $x^2 + y^2$ menggunakan identitas $(x+y)^2 - 2xy$$x+y = (9+4\sqrt{5}) + (9-4\sqrt{5}) = 18$$xy = (9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 81 - 16(5) = 81 - 80 = 1$$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 18^2 - 2(1) = 324 - 2 = 322$Jawaban: 322Gunakan teorema faktor untuk mencari akar rasional. Uji $x = -1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$. Maka $(x+1)$ adalah faktor.Lakukan pembagian polinomial: $(x^3+6x^2+11x+6) = (x+1)(x^2+5x+6)$Faktorkan persamaan kuadrat: $(x+1)(x+2)(x+3) = 0$Jawaban: x = -1, -2, -3Ubah persamaan menjadi bentuk $R\sin(x-\alpha)$$\sin x - \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$Selesaikan untuk $x$ dalam interval $0 \leq x < 2\pi$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{5\pi}{12}$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} \implies x = \frac{13\pi}{12}$Jawaban: x = 5π/12, 13π/12Ubah basis logaritma menjadi 3.$2\log_{3^2}(x+2) + \log_3 x = 1 \implies 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3(x+2) + \log_3 x = 1$$\log_3(x+2) + \log_3 x = 1 \implies \log_3(x(x+2)) = 1$Ubah ke bentuk eksponen: $x^2 + 2x = 3^1 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$Faktorkan: $(x+3)(x-1) = 0$. Karena syarat logaritma $x > 0$, maka $x = 1$Jawaban: x = 1

Misalkan $u = 2^{-x}$. Maka $2^{1-x} = 2 \cdot 2^{-x} = 2u$ dan $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4/u$. Pertidaksamaan menjadi $2u - 4/u < 7$Kalikan dengan $u$ (karena $u > 0$): $2u^2 - 7u - 4 < 0$. Faktorkan menjadi $(2u + 1)(u - 4) < 0$Akar-akarnya adalah $u = -1/2$ dan $u = 4$. Karena $u > 0$, maka $0 < u < 4$Substitusi kembali $u = 2^{-x}$, sehingga $2^{-x} < 4 \implies 2^{-x} < 2^2 \implies -x < 2 \implies x > -2$Jawaban: x > -2Gunakan identitas $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Pertidaksamaan menjadi $(1 - 2\sin^2 x) + 9\sin x - 5 < 0$Sederhanakan menjadi $-2\sin^2 x + 9\sin x - 4 < 0$, atau $2\sin^2 x - 9\sin x + 4 > 0$Faktorkan menjadi $(2\sin x - 1)(\sin x - 4) > 0$. Karena $\sin x \leq 1$, maka $(\sin x - 4)$ selalu negatif.Agar hasil kali positif, maka $(2\sin x - 1)$ harus negatif, sehingga $\sin x < 1/2$. Untuk $0 \leq x < 2\pi$, ini terjadi pada $0 \leq x < \pi/6$ atau $5\pi/6 < x < 2\pi$Jawaban: 0 \leq x < \pi/6 \cup 5\pi/6 < x < 2\piMisalkan titik simetris adalah $A'(x', y')$. Garis yang menghubungkan $A(3,2)$ dan $A'$ tegak lurus dengan garis $2x + y - 12 = 0$ (gradien $m_1 = -2$). Maka gradien $AA'$ adalah $m_2 = 1/2$Persamaan garis $AA'$

Persamaan garis $AA'$ melalui $(3,2)$ adalah $y - 2 = 1/2(x - 3) \implies x - 2y + 1 = 0$Titik potong $M$ antara $2x + y - 12 = 0$ dan $x - 2y + 1 = 0$ adalah $(5, 2)$$M$ adalah titik tengah $AA'$, maka $5 = (3+x')/2 \implies x' = 7$ dan $2 = (2+y')/2 \implies y' = 2$Jawaban: (7, 2)Ruang sampel dua koin adalah {HH, HT, TH, TT}. Kejadian "setidaknya satu muncul angka (heads)" adalah $S = \{HH, HT, TH\}$ dengan $n(S) = 3$Kejadian "keduanya angka" adalah $A = \{HH\}$ dengan $n(A) = 1$Peluang bersyarat $P(A|S) = n(A \cap S) / n(S) = 1/3$Jawaban: 1/3

Misalkan $u = 2^{-x}$. Maka $2^{1-x} = 2 \cdot 2^{-x} = 2u$ dan $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4/u$. Pertidaksamaan menjadi $2u - 4/u < 7$Kalikan dengan $u$ (karena $u > 0$): $2u^2 - 7u - 4 < 0$. Faktorkan menjadi $(2u + 1)(u - 4) < 0$Akar-akarnya adalah $u = -1/2$ dan $u = 4$. Karena $u > 0$, maka $0 < u < 4$Substitusi kembali $u = 2^{-x}$, sehingga $2^{-x} < 4 \implies 2^{-x} < 2^2 \implies -x < 2 \implies x > -2$Jawaban: x > -2Gunakan identitas $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Pertidaksamaan menjadi $(1 - 2\sin^2 x) + 9\sin x - 5 < 0$Sederhanakan menjadi $-2\sin^2 x + 9\sin x - 4 < 0$, atau $2\sin^2 x - 9\sin x + 4 > 0$Faktorkan menjadi $(2\sin x - 1)(\sin x - 4) > 0$. Karena $\sin x \leq 1$, maka $(\sin x - 4)$ selalu negatif.Agar hasil kali positif, maka $(2\sin x - 1)$ harus negatif, sehingga $\sin x < 1/2$. Untuk $0 \leq x < 2\pi$, ini terjadi pada $0 \leq x < \pi/6$ atau $5\pi/6 < x < 2\pi$Jawaban: 0 \leq x < \pi/6 \cup 5\pi/6 < x < 2\piMisalkan titik simetris adalah $A'(x', y')$. Garis yang menghubungkan $A(3,2)$ dan $A'$ tegak lurus dengan garis $2x + y - 12 = 0$ (gradien $m_1 = -2$). Maka gradien $AA'$ adalah $m_2 = 1/2$Persamaan garis $AA'$ melalui $(3,2)$ adalah $y - 2 = 1/2(x - 3) \implies x - 2y + 1 = 0$Titik potong $M$ antara $2x + y - 12 = 0$ dan $x - 2y + 1 = 0$ adalah $(5, 2)$$M$ adalah titik tengah $AA'$, maka $5 = (3+x')/2 \implies x' = 7$ dan $2 = (2+y')/2 \implies y' = 2$Jawaban: (7, 2)Ruang sampel dua koin adalah {HH, HT, TH, TT}. Kejadian "setidaknya satu muncul angka (heads)" adalah $S = \{HH, HT, TH\}$ dengan $n(S) = 3$Kejadian "keduanya angka" adalah $A = \{HH\}$ dengan $n(A) = 1$Peluang bersyarat $P(A|S) = n(A \cap S) / n(S) = 1/3$Jawaban: 1/3

$a = -1$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$I + A + A^2 + \dots + A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

PenjelasanMenentukan nilai $a$ dengan menggunakan persamaan $A^2 + A + I = O$Diketahui $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, maka:$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -a \\ a & a^2-1 \end{pmatrix}$Substitusikan ke dalam persamaan:$\begin{pmatrix} -1 & -a \\ a & a^2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$Dari elemen baris pertama kolom kedua: $-a - 1 + 0 = 0$, sehingga $a = -1$Menentukan nilai $A^3$Dari persamaan $A^2 + A + I = O$, kita peroleh $A^2 = -A - I$Maka, $A^3 = A \cdot A^2 = A(-A - I) = -A^2 - A$Substitusikan kembali $A^2 = -A - I$:$A^3 = -(-A - I) - A = A + I - A = I$Menentukan nilai $S = I + A + A^2 + \dots + A^{10}$Karena $A^2 + A + I = O$, maka jumlah tiga suku berurutan adalah nol (misalnya $I + A + A^2 = O$).Kita dapat mengelompokkan deret tersebut:$S = (I + A + A^2) + A^3(I + A + A^2) + A^6(I + A + A^2) + A^9 + A^{10}$Karena $A^3 = I$, maka $A^6 = I$ dan $A^9 = I$$S = O + I(O) + I(O) + I + A^{10}$Karena $A^3 = I$, maka $A^{10} = (A^3)^3 \cdot A = I^3 \cdot A = A$Jadi, $S = I + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Jawaban:$\frac{\pi}{2}$$I = \frac{\pi}{2} a^2 + \frac{\pi}{2} b^2 + 4b + \pi$$minI = \pi - \frac{8}{\pi}, a = 0, b = -\frac{4}{\pi}$PenjelasanMenghitung $\int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx$Menggunakan identitas trigonometri $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, maka:$\int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi + 0 - 0 - 0) = \frac{\pi}{2}$Mengekspresikan $I$ sebagai fungsi $a$ dan $b$Jabarkan $(a \cos x + b \sin x + 1)^2 = a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x + 1 + 2ab \sin x \cos x + 2a \cos x + 2b \sin x$Integralkan setiap suku dari $0$ sampai $\pi$:$\int_{0}^{\pi} a^2 \cos^2 x \, dx = a^2 (\frac{\pi}{2})$$\int_{0}^{\pi} b^2 \sin^2 x \, dx = b^2 (\frac{\pi}{2})$$\int_{0}^{\pi} 1 \, dx = \pi$

$\int_{0}^{\pi} 2ab \sin x \cos x \, dx = ab \int_{0}^{\pi} \sin 2x \, dx = ab [-\frac{1}{2} \cos 2x]_{0}^{\pi} = 0$

$\int_{0}^{\pi} 2a \cos x \, dx = 2a [\sin x]_{0}^{\pi} = 0$

$\int_{0}^{\pi} 2b \sin x \, dx = 2b [-\cos x]_{0}^{\pi} = 2b(1 - (-1)) = 4b$

Maka, $I = \frac{\pi}{2} a^2 + \frac{\pi}{2} b^2 + 4b + \pi$Mencari nilai minimum $I$ dan nilai $a, b$$I = \frac{\pi}{2} a^2 + \frac{\pi}{2} (b^2 + \frac{8}{\pi} b) + \pi$Lengkapi kuadrat untuk $b$: $b^2 + \frac{8}{\pi} b = (b + \frac{4}{\pi})^2 - \frac{16}{\pi^2}$$I = \frac{\pi}{2} a^2 + \frac{\pi}{2} (b + \frac{4}{\pi})^2 - \frac{8}{\pi} + \pi$Nilai minimum tercapai saat $a = 0$ dan $b = -\frac{4}{\pi}$Nilai minimum $I = \pi - \frac{8}{\pi}$