Math (a) Gakubu 2018 MEXT Monbukagakusho

  https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

(1)Gunakan AM-GM: $\frac{x+3y}{2} \geq \sqrt{x \cdot 3y} \implies 1 \geq \sqrt{3xy} \implies 1 \geq 3xy \implies \frac{1}{xy} \geq 3$.Kesamaan terjadi saat $x=3y$. 

Karena $x+3y=2$, maka $x+x=2 \implies x=1, y=1/3$. Jawaban: 1 3, 2 1, 3 1/3.(2)Misal $u=2^x$. Persamaan menjadi $4u - 1/u + 3 = 0 \implies 4u^2 + 3u - 1 = 0$.$(4u-1)(u+1)=0$. Karena $u=2^x > 0$, maka $u=1/4 \implies 2^x = 2^{-2} \implies x=-2$. Jawaban: -2.(3)Misal $P(x) = x^4+ax^3+ax^2+bx-6$. $P(1)=0 \implies 1+a+a+b-6=0 \implies 2a+b=5$.$P'(x) = 4x^3+3ax^2+2ax+b$. $P'(1)=0 \implies 4+3a+2a+b=0 \implies 5a+b=-4$.Eliminasi: $3a=-9 \implies a=-3, b=11$. Jawaban: a=-3, b=11.(4)Untuk $\frac{5}{18}\pi \leq x \leq \frac{2}{3}\pi$, maka $\frac{5}{6}\pi \leq 3x \leq 2\pi$.Nilai $\sin(3x)$ maksimum pada $3x = 3\pi/2$ adalah -1 (tidak mungkin) atau batas. Nilai $\sin(5\pi/6)=1/2$, $\sin(2\pi)=0$,

$\sin(3\pi/2)=-1$. Maksimum 1/2, minimum -1. Jawaban: 1 1/2, 2 -1.(5)$z = e^{i\pi/3}$. Ini adalah akar ke-6 dari 1. $z+z^2+z^3+z^4+z^5 = \frac{z(1-z^5)}{1-z}$.Karena $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=0$, maka jumlah tersebut adalah -1. Jawaban: -1.(6)Alas adalah persegi (sisi 1). Sisi tegak: dua segitiga sama kaki (1,1,$\sqrt{2}$) dan dua segitiga siku-siku (1,$\sqrt{2},\sqrt{3}$).Tinggi piramida $h$ dihitung dari segitiga siku-siku dengan hipotenusa $\sqrt{3}$ dan alas $1/2$ (jarak pusat ke sisi), $h = \sqrt{3 - (1/2)^2} = \sqrt{11}/2$.Volume $V = 1/3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{11}/2 = \sqrt{11}/6$. Jawaban: $\frac{\sqrt{11}}{6}$

Jawaban:

(7) (1,3), (1,1), $\sqrt{5}$

(8) (3,1), (2,2), 4

(9) -3, 6, 2

(10) $n+1$, $k$, $n-1$, $n+1$

(11) 20021100110PenjelasanUntuk bagian (7), kita menggunakan prinsip refleksi. Titik $C(2,1)$ direfleksikan terhadap garis $OA$ ($x=1$) menjadi $C'(0,1)$. Titik $D(3,1)$ direfleksikan terhadap garis $OB$ ($y=x$) menjadi $D'(1,3)$. Jarak minimum adalah panjang garis lurus $C'D'$, yaitu $\sqrt{(1-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{5}$. Titik pada $OA$ adalah perpotongan $C'D'$ ($y-1 = \frac{3-1}{1-0}(x-0) \Rightarrow y=2x+1$) dengan $x=1$, yaitu $(1,3)$. Titik pada $OB$ adalah perpotongan $C'D'$ dengan $y=x$, yaitu $(1,1)$Untuk bagian (8), pertidaksamaan $2|m|+3|n-1|\leq 7$ membatasi nilai $m$ dan $n$. Untuk memaksimalkan $m+n$, kita uji nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi. Jika $m=3$, maka $2(3)+3|n-1|\leq 7 \Rightarrow 3|n-1|\leq 1 \Rightarrow |n-1| \leq 1/3$, sehingga $n=1$. Maka $m+n=4$. Jika $m=2$, $4+3|n-1|\leq 7 \Rightarrow |n-1|\leq 1 \Rightarrow n \in \{0, 1, 2\}$. Untuk $n=2, m+n=4$. Pasangan $(3,1)$ dan $(2,2)$ memberikan nilai maksimum 4.Untuk bagian (9), fungsi kuadrat $f(x) = a(x-1)^2 + 5$. Substitusi $f(-2) = a(-2-1)^2 + 5 = -22 \Rightarrow 9a = -27 \Rightarrow a = -3$. Maka $f(x) = -3(x-1)^2 + 5 = -3x^2 + 6x + 2$Untuk bagian (10), deret geometri $\sum_{l=k}^{n} 2^l = 2^k(2^{n-k+1}-1) = 2^{n+1} - 2^k$. Selanjutnya, $\sum_{k=1}^n (2^{n+1} - 2^k) = n 2^{n+1} - (2^{n+1}-2) = (n-1)2^{n+1} + 2$Untuk bagian (11), konversi $123456$ ke basis 3:$123456 \div 3 = 41152$ sisa 0$41152 \div 3 = 13717$ sisa 1$13717 \div 3 = 4572$ sisa 1$4572 \div 3 = 1524$ sisa 0$1524 \div 3 = 508$ sisa 0$508 \div 3 = 169$ sisa 1$169 \div 3 = 56$ sisa 1$56 \div 3 = 18$ sisa 2$18 \div 3 = 6$ sisa 0$6 \div 3 = 2$ sisa 0$2 \div 3 = 0$ sisa 2Membaca sisa dari bawah ke atas: $20021100110$

Jawaban: [2-1]=2, [2-2]=3, [2-3]=2-\sqrt{3}, [2-4]=2, [2-5]=2+\sqrt{3}, [2-6]=0, [2-7]=1PenjelasanMenentukan nilai $a$ dan $b$ pada bagian (1).Turunan pertama dari $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx - 2$ adalah $f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b$. Karena $x=1$ dan $x=3$ adalah titik ekstrem, maka $f'(1) = 0$ dan $f'(3) = 0$$f'(1) = 3(1)^2 - 6a(1) + 3b = 3 - 6a + 3b = 0 \implies -2a + b = -1$$f'(3) = 3(3)^2 - 6a(3) + 3b = 27 - 18a + 3b = 0 \implies -6a + b = -9$Dengan mengurangkan kedua persamaan: $(-2a - (-6a)) = -1 - (-9) \implies 4a = 8 \implies a = 2$Substitusi $a=2$ ke $-2(2) + b = -1 \implies -4 + b = -1 \implies b = 3$Mencari akar-akar $f(x)=0$ untuk $a=2, b=3$Fungsi menjadi $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0$Kita tahu $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$, sehingga titik ekstrem berada di $x=1$ dan $x=3$Nilai fungsi: $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ dan $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$Karena $f(0) = -2$, $f(1) = 2$, $f(3) = -2$, dan $f(4) = 64 - 96 + 36 - 2 = 2$, maka akar-akar berada di interval $(0,1)$, $(1,3)$, dan $(3,4)$Menggunakan metode numerik atau pengujian, akar-akarnya adalah $2-\sqrt{3} \approx 0,268$, $2$, dan $2+\sqrt{3} \approx 3,732$Menentukan rentang $a$ untuk $f(x)$ monoton naik pada bagian (2).Jika $a=b$, maka $f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a = 3(x^2 - 2ax + a)$Agar $f(x)$ monoton naik, maka $f'(x) \geq 0$ untuk semua $x$Syarat diskriminan $D \leq 0$:$D = (-2a)^2 - 4(1)(a) = 4a^2 - 4a \leq 0$$4a(a-1) \leq 0 \implies 0 \leq a \leq 1$

Jawaban: [3-1] $\frac{\pi}{5}$, [3-2] 3, [3-3] 2, [3-4] 6, [3-5] $\frac{6\pi}{5}$PenjelasanMenghitung volume benda B.Benda B didefinisikan oleh $x^2 + y^2 \leq z^4$ untuk $0 \leq z \leq 1$. Untuk setiap nilai $z$ yang tetap, penampang benda B adalah lingkaran dengan jari-jari $r = z^2$. Luas penampang $S(z) = \pi r^2 = \pi (z^2)^2 = \pi z^4$. Volume $V_B$ dihitung dengan integral:$V_B = \int_{0}^{1} \pi z^4 dz = \pi [\frac{1}{5}z^5]_0^1 = \frac{\pi}{5}$Menentukan faktor elongasi untuk benda A.Persamaan benda A adalah $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \leq z^4$, yang dapat ditulis sebagai $(\frac{x}{3})^2 + (\frac{y}{2})^2 \leq z^4$. Jika kita substitusi $x' = \frac{x}{3}$ dan $y' = \frac{y}{2}$, maka $x = 3x'$ dan $y = 2y'$. Ini menunjukkan bahwa benda A diperoleh dengan melakukan elongasi (peregangan) benda B sebesar 3 kali pada arah sumbu-x dan 2 kali pada arah sumbu-y.Menentukan perbandingan volume.Berdasarkan prinsip transformasi linear, jika sebuah benda diubah dengan faktor skala $a$ pada sumbu-x, $b$ pada sumbu-y, dan $c$ pada sumbu-z, maka volumenya berubah sebesar $a \times b \times c$. Di sini, faktor skalanya adalah 3 (sumbu-x), 2 (sumbu-y), dan 1 (sumbu-z). Maka, volume A adalah $3 \times 2 \times 1 = 6$ kali volume B.Menghitung volume benda A.$V_A = 6 \times V_B = 6 \times \frac{\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$