Math Ga (b) 2015 MEXT Monbukagakusho

https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

 Jawaban: (1) 100, 1/100; (2) 7/4; (3) 2; (4) 512; (5) 0PenjelasanUntuk (1), misalkan $u = \log_{10} x$. Persamaan menjadi $(\log_{10} a + u)(\log_{10} b + u) + 1 = 0$, atau $u^2 + (\log_{10} a + \log_{10} b)u + \log_{10} a \log_{10} b + 1 = 0$. Agar memiliki solusi real $x$, diskriminan $D \geq 0$. Maka $(\log_{10} a + \log_{10} b)^2 - 4(\log_{10} a \log_{10} b + 1) \geq 0$, yang menyederhanakan menjadi $(\log_{10} a - \log_{10} b)^2 \geq 4$, sehingga $|\log_{10} (a/b)| \geq 2$. Ini berarti $\log_{10} (a/b) \geq 2$ atau $\log_{10} (a/b) \leq -2$, sehingga $a/b \geq 100$ atau $a/b \leq 1/100$. Maka $b/a \leq 1/100$ atau $b/a \geq 100$Untuk (2), gunakan identitas sudut ganda $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$. Maka $\cos 2\theta = 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}}) - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Karena $\sin \theta < 0$ dan $\cos \theta > 0$, maka $\theta$ berada di kuadran IV, sehingga $2\theta$ berada di kuadran VII atau VIII (atau $3\pi/2 < 2\theta < 2\pi$). Nilai $2\theta$ yang memenuhi $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ adalah $2\theta = 7\pi/4$Untuk (3), jika $y = \log_2(x + \sqrt{x^2+1})$, maka $2^y = x + \sqrt{x^2+1}$. Maka $2^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^2+1} - x$. Akibatnya, $2^y - 2^{-y} = (x + \sqrt{x^2+1}) - (\sqrt{x^2+1} - x) = 2x$Untuk (4), agar fungsi terdefinisi, haruslah $\log_3(\log_2(\log_3(\log_2 x))) > 0$, maka $\log_2(\log_3(\log_2 x)) > 1$, sehingga $\log_3(\log_2 x) > 2$, maka $\log_2 x > 9$, sehingga $x > 2^9 = 512$Untuk (5), kita mencari $N_1 - N_2 = 11111$ di mana $N_1$ adalah bilangan 5 digit dan $N_2$ adalah bilangan 4 digit, dengan total digit 1-9 digunakan tepat sekali. Misalkan $N_1 = abcde$ dan $N_2 = fghi$. $10000a + 1000b + 100c + 10d + e - (1000f + 100g + 10h + i) = 11111$. Dengan mencoba kombinasi angka 1-9 yang tersisa, ditemukan bahwa hanya ada 0 kemungkinan yang memenuhi syarat penggunaan digit 1-9 tepat sekali.

Jawaban:

(1) 0, 1, 3, 6, 10, 15

(2) 0, 0, 0, 1, 5, 15

(3) 1, 2, 4, 8, 16, 31

(4) $c_n = \binom{n}{2}, i_n = \binom{n}{4}, r_n = \binom{n}{4} + \binom{n}{2} + 1$PenjelasanMenentukan $c_n$ (jumlah tali busur). Setiap 2 titik membentuk 1 tali busur, maka $c_n = \binom{n}{2}$$c_1=0, c_2=1, c_3=3, c_4=6, c_5=10, c_6=15$Menentukan $i_n$ (jumlah titik potong di dalam lingkaran). Setiap 4 titik membentuk tepat 1 titik potong di dalam lingkaran, maka $i_n = \binom{n}{4}$$i_1=0, i_2=0, i_3=0, i_4=1, i_5=5, i_6=15$Menentukan $r_n$ (jumlah daerah). Menggunakan rumus Euler untuk graf planar atau relasi rekurensi $r_n = r_{n-1} + c_{n-1} + i_{n-1} + 1$, didapat $r_n = \binom{n}{4} + \binom{n}{2} + 1$$r_1=1, r_2=2, r_3=4, r_4=8, r_5=16, r_6=31$

Jawaban: (1) a=-3, b=18; (2) x=-2, 3; (3) S=625/12PenjelasanDiketahui $f(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$. Karena kurva menyinggung sumbu-x di $x=3$, maka $f(3) = 0$ dan $f'(3) = 0$Turunan pertama adalah $f'(x) = 3x^2 - 8x + a$Substitusi $x=3$ ke $f'(x)$: $3(3)^2 - 8(3) + a = 0 \implies 27 - 24 + a = 0 \implies a = -3$

dan $x=3$ ke $f(x)$: $(3)^3 - 4(3)^2 - 3(3) + b = 0 \implies 27 - 36 - 9 + b = 0 \implies b = 18$Untuk mencari titik potong dengan sumbu-x, selesaikan $f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0$Karena kurva menyinggung di $x=3$, maka $(x-3)^2$ adalah faktor dari $f(x)$$(x-3)^2(x+k) = (x^2 - 6x + 9)(x+k) = x^3 + (k-6)x^2 + (9-6k)x + 9k$Dengan membandingkan koefisien, $9k = 18 \implies k = 2$Maka $f(x) = (x-3)^2(x+2) = 0$. Titik potongnya adalah $x=3$ dan $x=-2$Menghitung luas daerah $S$ yang dibatasi kurva dan sumbu-x dari $x=-2$ sampai $x=3$$S = \int_{-2}^{3} (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) dx$$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 18x]_{-2}^{3}$$S = (\frac{81}{4} - \frac{108}{3} - \frac{27}{2} + 54) - (\frac{16}{4} - \frac{4(-8)}{3} - \frac{3(4)}{2} + 18(-2))$$S = (\frac{81}{4} - 36 - \frac{54}{4} + 54) - (4 + \frac{32}{3} - 6 - 36) = (\frac{27}{4} + 18) - (\frac{32}{3} - 38)$$S = \frac{99}{4} - (-\frac{82}{3}) = \frac{297 + 328}{12} = \frac{625}{12}$