Matematika Ga (b) 2014 MEXT Monbukagakusho

https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

 Berikut adalah penyelesaian untuk pertanyaan-pertanyaan tersebut:1. Isian Singkat

(1) Dari $\sqrt{2}x^2 - \sqrt{3}x + k = 0$, maka $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ dan $\sin\theta\cos\theta = \frac{k}{\sqrt{2}}$. Kuadratkan persamaan pertama: $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} \Rightarrow 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$. Maka $\frac{k}{\sqrt{2}} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) Suku umum $(x^3 + ax^{-2})^5$ adalah $\binom{5}{r}(x^3)^{5-r}(ax^{-2})^r = \binom{5}{r}a^r x^{15-5r}$. Suku konstan saat $15-5r=0 \Rightarrow r=3$. Maka $\binom{5}{3}a^3 = -270 \Rightarrow 10a^3 = -270 \Rightarrow a^3 = -27 \Rightarrow a = -3$

(3) $f(g(x)) = x$ berarti $g(x) = f^{-1}(x)$. $y = \frac{3x+1}{2x+1} \Rightarrow 2xy + y = 3x + 1 \Rightarrow x(2y-3) = 1-y \Rightarrow x = \frac{1-y}{2y-3}$. Maka $f^{-1}(x) = \frac{1-x}{2x-3} = \frac{-x+1}{2x-3}$. Agar sama dengan $\frac{px+1}{2x-3}$, maka $p = -1$

(4) $\log_2 x + \log_2(x-2) < \log_2 8 \Rightarrow x(x-2) < 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) < 0$. Syarat logaritma $x>2$. Maka $2 < x < 4$

(5) $600 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2$. Jumlah pembagi: $(3+1)(1+1)(2+1) = 24$. Jumlah nilai pembagi: $\frac{2^4-1}{2-1} \cdot \frac{3^2-1}{3-1} \cdot \frac{5^3-1}{5-1} = 15 \cdot 4 \cdot 31 = 1860$Jawaban: (1) $\frac{\sqrt{2}}{4}$, (2) $-3$, (3) $-1$, (4) $2 < x < 4$, (5) $24$ dan $1860$2. Geometri Lingkaran

(1) Sudut antara jari-jari ke titik potong adalah $120^\circ$. Dengan aturan kosinus pada segitiga yang dibentuk dua pusat dan titik potong: $d^2 = 1^2 + r^2 - 2(1)(r)\cos(120^\circ) = 1 + r^2 + r$. Maka $d = \sqrt{r^2+r+1}$

(2) $d$ minimum saat $r^2+r+1$ minimum. Turunan $2r+1=0 \Rightarrow r = -1/2$ (tidak mungkin). Namun, jika sudut $120^\circ$ adalah sudut pusat, $d = \sqrt{1+r^2-2r\cos(120^\circ)} = \sqrt{r^2+r+1}$. Nilai minimum $r$ dalam konteks fisik adalah $r \to 0$, namun secara matematis fungsi ini tidak memiliki minimum lokal untuk $r>0$. Jika maksudnya sudut antara tangen adalah $120^\circ$, maka $d^2 = 1^2+r^2-2(1)(r)\cos(60^\circ) = r^2-r+1$. Minimum saat $r=1/2$

(3) Luas irisan dua lingkaran dengan $r=1, d=\sqrt{1/4-1/2+1} = \sqrt{3/4} = \sqrt{3}/2$. Luas = $2 \times (\text{luas sektor} - \text{luas segitiga})$Jawaban: (1) $\sqrt{r^2+r+1}$, (2) $1/2$, (3) $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$3. Fungsi

(1) $y = (2^x)^3 - 4(2^x)^2 + 15(2^x) = X^3 - 4X^2 + 15X$

(2) $y' = 3X^2 - 8X + 15$. Diskriminan $D = 64 - 180 < 0$. Fungsi selalu naik, tidak ada lokal maksimum/minimum.

(3) $0 \leq x \leq \log_2 7 \Rightarrow 1 \leq X \leq 7$. $y(1) = 1-4+15 = 12$. $y(7) = 343 - 196 + 105 = 252$Jawaban: (1) $X^3-4X^2+15X$, (2) Tidak ada, (3) Maks 252 di $x=\log_2 7$, Min 12 di $x=0$