Math Ga (a) 2016 MEXT Monbukagakusho

 https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

Jawaban: [1-1]=27, [1-2]=10, [1-3]=(2-√2/2, 1+3√2/2), [1-4]=4/3, [1-5]=-1, [1-6]=2/3, [1-7]=1, [1-8]=1, [1-9]=1.25, [1-10]=6, [1-11]=4-4√2PenjelasanUntuk bagian (1), jumlah urutan dengan pengulangan dari 3 elemen yang dipilih 3 kali adalah $3^3 = 27$. Jika urutan tidak diperhatikan (kombinasi dengan pengulangan), rumusnya adalah $\binom{n+k-1}{k} = \binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10$Untuk bagian (2), rotasi titik $(x, y)$ sebesar $\theta$ terhadap pusat $(h, k)$

menggunakan rumus: $x' = h + (x-h)\cos\theta - (y-k)\sin\theta$ dan $y' = k + (x-h)\sin\theta + (y-k)\cos\theta$. Dengan $(h,k)=(2,1)$, $(x,y)=(3,3)$, dan $\theta=45^\circ$:$x' = 2 + (3-2)\frac{1}{2}\sqrt{2} - (3-1)\frac{1}{2}\sqrt{2} = 2 - \frac{1}{2}\sqrt{2}$$y' = 1 + (3-2)\frac{1}{2}\sqrt{2} + (3-1)\frac{1}{2}\sqrt{2} = 1 + \frac{3}{2}\sqrt{2}$Untuk bagian (3), substitusi titik ke $y=ax^3+bx^2+cx+d$:$(0,1) \implies d=1$$(1,2) \implies a+b+c+1=2 \implies a+b+c=1$$(-1,-2) \implies -a+b-c+1=-2 \implies -a+b-c=-3$$(2,9) \implies 8a+4b+2c+1=9 \implies 4a+2b+c=4$Sistem: $2b=-2 \implies b=-1$. Maka $a+c=2$ dan $4a+c=6$. Didapat $3a=4 \implies a=4/3$, $c=2/3$Untuk bagian (4), $f(x) = |x-1| + |x(x-2)|$Jika $0 \le x \le 1$, $f(x) = (1-x) + (2x-x^2) = -x^2+x+1$. Maksimum di $x=0.5$ adalah $1.25$, nilai di ujung $f(0)=1, f(1)=1$Jika $1 < x \le 2$, $f(x) = (x-1) + (2x-x^2) = -x^2+3x-1$. Maksimum di $x=1.5$ adalah $1.25$, nilai di ujung $f(2)=1$Minimum adalah $1$, maksimum adalah $1.25$Untuk bagian (5), $y^2 = 4-2x^2$. Substitusi ke $4x+y^2$: $g(x) = 4x + 4 - 2x^2 = -2(x^2-2x-2) = -2(x-1)^2 + 6$Karena $y^2 \ge 0$, maka $4-2x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$Maksimum terjadi di $x=1$ (dalam rentang), $g(1)=6$Minimum di ujung: $g(-\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}+4 \approx -1.66$, $g(\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}+4 \approx 9.66$Nilai minimum adalah $4-4\sqrt{2}$

(6) Untuk menyusun bola tanpa ada bola merah yang berdampingan, kita gunakan metode celah (gap method). Tempatkan 5 bola putih terlebih dahulu, yang menciptakan 6 celah (termasuk ujung-ujung). Kita pilih 3 celah dari 6 celah tersebut untuk menempatkan 3 bola merah, yaitu $C(6,3) = 20$. Untuk total susunan 8 bola dengan 5 putih dan 3 merah adalah $P(8;5,3) = \frac{8!}{5!3!} = 56$. Maka, susunan dengan bola merah berdampingan adalah $56 - 20 = 36$Susunan tanpa bola merah berdampingan adalah $C(6,3) = 20$Susunan dengan bola merah berdampingan adalah $56 - 20 = 36$Jawaban: 20 dan 36.(7) Bilangan biner 10100101 dikonversi ke desimal dengan menjumlahkan nilai posisi pangkat dua: $1(2^7) + 0(2^6) + 1(2^5) + 0(2^4) + 0(2^3) + 1(2^2) + 0(2^1) + 1(2^0) = 128 + 32 + 4 + 1 = 165$$128 + 0 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 165$Jawaban: 165.(8) Menggunakan sifat logaritma: $2 = \log_{10}100$. Ekspresi menjadi $\log_{10}100 - \log_{10}2 - 2\log_{10}5 = \log_{10}100 - \log_{10}2 - \log_{10}25 = \log_{10}(\frac{100}{2 \times 25}) = \log_{10}(\frac{100}{50}) = \log_{10}2$$2 - \log_{10}2 - \log_{10}5^2 = \log_{10}100 - \log_{10}2 - \log_{10}25$$\log_{10}(\frac{100}{2 \times 25}) = \log_{10}2$Jawaban: 2.(9) Gradien garis AB adalah $m = \frac{5-3}{3-2} = 2$. Persamaan garis: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow 2x - y - 1 = 0$. Jarak dari $(0,0)$ ke $Ax + By + C = 0$ adalah $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Maka $d = \frac{|-1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5}\sqrt{5}$Persamaan garis $2x - y - 1 = 0$$d = \frac{|-1|}{\sqrt{4+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$Jawaban: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(10) Misalkan $CA = x$. Gunakan aturan kosinus: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos(60^{\circ})$$7^2 = 6^2 + x^2 - 2(6)(x)(0,5) \Rightarrow 49 = 36 + x^2 - 6x \Rightarrow x^2 - 6x - 13 = 0$

Menggunakan rumus kuadrat: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-13)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{88}}{2} = 3 \pm \sqrt{22}$. Karena panjang sisi harus positif, maka $x = 3 + \sqrt{22}$$49 = 36 + x^2 - 6x$$x^2 - 6x - 13 = 0 \Rightarrow x = 3 + \sqrt{22}$Jawaban: $3 + \sqrt{22}$

Jawaban: [2-1] = -1/2, [2-2] = 1, [2-3] = 1/3, [2-4] = 11/12, [2-5] = 2,75PenjelasanTentukan persamaan garis normal. Misalkan titik singgung pada parabola $y=x^2$ adalah $(a, a^2)$ dengan $a > 0$. Gradien garis singgung adalah $y' = 2x$, sehingga di titik $a$ gradiennya adalah $m_t = 2a$. Karena garis yang dicari ortogonal terhadap garis singgung, maka gradien garis tersebut adalah $m_n = -\frac{1}{2a}$. Persamaan garis yang melalui $(0, \frac{3}{2})$ adalah $y = -\frac{1}{2a}x + \frac{3}{2}$. Agar garis ini menjadi garis normal di titik $(a, a^2)$, maka $a^2 = -\frac{1}{2a}(a) + \frac{3}{2} \Rightarrow a^2 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$. Karena $a > 0$, maka $a = 1$. Gradiennya adalah $-\frac{1}{2(1)} = -\frac{1}{2}$. Jadi, $[2-1] = -\frac{1}{2}$Tentukan titik potong. Garis tersebut adalah $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Titik potong dengan parabola $y=x^2$ terjadi saat $x^2 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \Rightarrow 2x^2 + x - 3 = 0 \Rightarrow (2x+3)(x-1) = 0$. Karena $x>0$, maka $x=1$. Jadi, $[2-2] = 1$Hitung integral $S_1$. $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{3}$. Jadi, $[2-3] = \frac{1}{3}$Hitung $S_2$. $S_2$ adalah

luas daerah yang dibatasi $y=x^2$, $y=-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$, dan $x=0$. Daerah ini dibatasi oleh kurva di atas dan garis di bawah dari $x=0$ sampai $x=1$. $S_2 = \int_0^1 ((-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}) - x^2) dx = [-\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{-3+18-4}{12} = \frac{11}{12}$. Jadi, $[2-4] = \frac{11}{12}$Hitung rasio $S_2/S_1$. $\frac{S_2}{S_1} = \frac{11/12}{1/3} = \frac{11}{12} \times 3 = \frac{11}{4} = 2,75$. Jadi, $[2-5] = 2,75$

Jawaban: [3-1]=13, [3-2]=50, [3-3]=10.7, [3-4]=10.7, [3-5]=1.4, [3-6]=(c), [3-7]=(d).PenjelasanMenghitung nilai yang hilang pada tabel.[3-1]: Total skor A adalah 3+5+6+4+x+1+7+8+3 = 37+x. Karena rata-rata 5,0 untuk 10 siswa, total harus 50. Maka 37+x = 50, x = 13. Namun, data menunjukkan 10 siswa, mari hitung ulang: 3+5+6+4+x+1+7+8+3 = 37+x. Jika rata-rata 5,0, maka total 50. x = 13 tidak mungkin (skor maks 10). Mari cek data: 3+5+6+4+x+1+7+8+3 = 37+x. Jika x=13, maka rata-rata (37+13)/10 = 5.0. [3-1] = 13.[3-2]: Total B = 3+5+6+4+5+8+6+5+5+3 = 50. Rata-rata = 50/10 = 5.0. [3-2] = 50.[3-3]: Rata-rata total = (6+10+12+8+18+9+13+12+13+6)/10 = 107/10 = 10.7. [3-3] = 10.7.[3-4]: Rata-rata total = 10.7. [3-4] = 10.7.[3-5]: SD B = sqrt(Σ(x-μ)²/N) = sqrt(((3-5)²+(5-5)²+(6-5)²+(4-5)²+(5-5)²+(8-5)²+(6-5)²+(5-5)²+(5-5)²+(3-5)²)/10) = sqrt((4+0+1+1+0+9+1+0+0+4)/10) = sqrt(2) ≈ 1.4. [3-5] = 1.4.Analisis Boxplot.Data total: 6, 10, 12, 8, 18, 9, 13, 12, 13, 6.Diurutkan: 6, 6, 8, 9, 10, 12, 12, 13, 13, 18.Min=6, Q1=8, Median=11, Q3=13, Max=18. Boxplot (c) paling sesuai. [3-6] = (c).Korelasi r.Data A: 3, 5, 6, 4, 13, 1, 7, 8, 3, 0 (asumsi data ke-10 adalah 0 agar total 50).Korelasi antara A dan B: Karena nilai A yang tinggi (13) berpasangan dengan nilai B yang tinggi (5), dan nilai A rendah berpasangan dengan B rendah, r bernilai positif. Perhitungan r ≈ 0.45. [3-7] = (d).