Math Ga (a) 2014 MEXT Monbukagakusho

 

Jawaban: [1-1]=3, [1-2]=36\pi, [1-3]=21, [1-4]=0,4, [1-5]=3^k, [1-6]=6, [1-7]=4, [1-8]=1PenjelasanUntuk $\sqrt{7}$, karena $2^2=4$ dan $3^2=9$, maka $2 < \sqrt{7} < 3$. Jadi, $a = 2$ dan $b = \sqrt{7} - 2$. Maka $\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt{7}-2} = \frac{2(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{2\sqrt{7}+4}{3}$. Karena $\sqrt{7} \approx 2,646$, maka

Maka $\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt{7}-2} = \frac{2(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{2\sqrt{7}+4}{3}$. Karena $\sqrt{7} \approx 2,646$, maka $\frac{2(2,646)+4}{3} = \frac{9,292}{3} \approx 3,097$. Bagian bulatnya adalah 3.Kerucut memiliki jari-jari $r=6$ dan tinggi $h=8$. Garis pelukis $s = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. Jari-jari bola dalam $R$ dapat dicari dengan luas segitiga penampang: $R = \frac{r \cdot h}{r+s} = \frac{6 \cdot 8}{6+10} = \frac{48}{16} = 3$. Volume bola $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi(27) = 36\pi$Banyak digit $5^{29}$ adalah $\lfloor \log_{10}(5^{29}) \rfloor + 1$. $\log_{10}(5^{29}) = 29 \log_{10}(\frac{10}{2}) = 29(1 - 0,3010) = 29(0,699) = 20,271$. Maka $20 + 1 = 21$ digit.Jarak pusat $(0,0)$ ke garis $3x+4y-12=0$ adalah $d = \frac{|3(0)+4(0)-12|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{12}{5} = 2,4$. Jarak minimum ke lingkaran adalah $d - r = 2,4 - 2 = 0,4$Persamaan karakteristik $r^2 - 4r + 3 = 0 \Rightarrow (r-3)(r-1) = 0$. Solusi umum $a_k = A(3^k) + B(1^k)$. Dengan $a_1=1, a_2=2$, didapat $3A+B=1$ dan $9A+B=2$. Maka $6A=1 \Rightarrow A=1/6$ dan $B=1/2$. $a_k = \frac{3^k}{6} + \frac{1}{2} = \frac{3^k+3}{6}$. Jadi $a_k = \frac{3^k+3}{6}$$\int_{-m/2}^{m} (ax+b) dx = [\frac{a}{2}x^2 + bx]_{-m/2}^{m} = (\frac{a}{2}m^2 + bm) - (\frac{a}{2}(\frac{m^2}{4}) - \frac{bm}{2}) = \frac{3a}{8}m^2 + \frac{3b}{2}m$. Agar sama dengan $\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}m$, maka $\frac{3a}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{4}{3}$ dan $\frac{3b}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{3}$. Maka $f(x) = \frac{4x+1}{3}$

Jawaban: (1) 4, (2) 15^\circPenjelasanMenentukan luas maksimum segitiga ABC.Diameter AB adalah alas segitiga dengan panjang $c = 4$. Tinggi segitiga $h$ adalah jarak tegak lurus dari titik C ke diameter AB. Luas segitiga diberikan oleh $L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} = \frac{1}{2} \times 4 \times h = 2h$. Karena C berada pada busur setengah lingkaran dengan jari-jari $r = 2$, tinggi maksimum $h$ adalah sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu $h = 2$. Maka, luas maksimum adalah $2 \times 2 = 4$

Menentukan sudut $\angle CAB$ ketika luas segitiga adalah setengah dari luas maksimum.Luas maksimum adalah 4, sehingga setengah dari luas maksimum adalah 2. Dengan $L = 2h = 2$, maka $h = 1$. Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi $h$

dari titik C ke titik D pada AB, kita memiliki $CD = 1$. Karena $r = 2$, maka dalam segitiga ODC (O adalah pusat lingkaran), $\sin(\angle COD) = \frac{CD}{OC} = \frac{1}{2}$, sehingga $\angle COD = 30^\circ$. Karena $\triangle AOC$ adalah segitiga sama kaki ($OA=OC=2$), maka $\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2}$. Jika C lebih dekat ke A, maka $\angle AOC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ atau $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Untuk $h=1$, posisi C memberikan $\angle CAB = 15^\circ$ (menggunakan hubungan trigonometri pada segitiga dengan tinggi 1 dan alas 4).

Jawaban: [3-1]=1, [3-2]=-6, [3-3]=0, [3-4]=12, [3-5]=2, [3-6]=4, [3-7]=2 \pm \sqrt{3}, [3-8]=-20PenjelasanMenyatakan $x^2 + \frac{1}{x^2}$ dan $x^3 + \frac{1}{x^3}$ dalam bentuk $t = x + \frac{1}{x}$Kita tahu bahwa $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, sehingga $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$Selanjutnya, $t^3 = (x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3t$, sehingga $x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$Substitusi ke dalam fungsi $y$$y = (t^3 - 3t) - 6(t^2 - 2) + 3t$$y = t^3 - 3t - 6t^2 + 12 + 3t$$y = t^3 - 6t^2 + 12$Maka, $[3-1]=1, [3-2]=-6, [3-3]=0, [3-4]=12$Menentukan domain $t$Berdasarkan ketaksamaan rata-rata aritmatika-geometrik (AM-GM) untuk $x > 0$, $x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$Maka, $[3-5]=2$Mencari nilai minimum fungsi $f(t) = t^3 - 6t^2 + 12$ untuk $t \geq 2$Turunan pertama: $f'(t) = 3t^2 - 12t = 3t(t - 4)$Titik stasioner terjadi pada $t=0$ (di luar domain) dan $t=4$Untuk $t=4$, $f(4) = 4^3 - 6(4^2) + 12 = 64 - 96 + 12 = -20$Untuk batas $t=2$, $f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 12 = 8 - 24 + 12 = -4$Karena $f(4) < f(2)$, nilai minimum adalah $-20$ pada $t=4$

Mencari nilai $x$ saat $t=4$$x + \frac{1}{x} = 4 \implies x^2 - 4x + 1 = 0$Menggunakan rumus kuadrat: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$Maka, $[3-6]=4, [3-7]=2 \pm \sqrt{3}, [3-8]=-20$