Math (b) Gakubu 2018 MEXT Monbukagakusho

https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

Jawaban: (1) 3, 1, 1/3; (2) -2; (3) -3, 11; (4) 1/2, -1; (5) -1; (6) $\sqrt{7}/6$PenjelasanUntuk (1), gunakan ketaksamaan AM-GM pada $x$ dan $3y$. Karena $x+3y=2$, maka $\frac{x+3y}{2} \geq \sqrt{x \cdot 3y}$, sehingga $1 \geq \sqrt{3xy}$, yang berarti $3xy \leq 1$ atau $xy \leq \frac{1}{3}$. Maka $\frac{1}{xy} \geq 3$. Kesamaan terjadi saat $x=3y=1$, sehingga $x=1, y=1/3$Untuk (2), misalkan $u = 2^x$. Persamaan menjadi $4u - \frac{1}{u} + 3 = 0$, atau $4u^2 + 3u - 1 = 0$. Faktorkan menjadi $(4u-1)(u+1)=0$. Karena $u=2^x > 0$, maka $u=1/4$, sehingga $2^x = 2^{-2}$, maka $x=-2$Untuk (3), karena habis dibagi $(x-1)^2$, maka $f(1)=0$ dan $f'(1)=0$. $f(1) = 1+a+a+b-6 = 2a+b-5=0$. $f'(x) = 4x^3+3ax^2+2ax+b$, maka $f'(1) = 4+5a+b=0$. Sistem persamaan: $2a+b=5$ dan $5a+b=-4$. Kurangi keduanya: $3a = -9 \implies a=-3$. Substitusi: $b=11$Untuk (4), jika $\frac{5}{18}\pi \leq x \leq \frac{2}{3}\pi$, maka $\frac{5}{6}\pi \leq 3x \leq 2\pi$. Pada interval ini, nilai maksimum $\sin(3x)$ adalah $1$ (saat $3x = \pi/2$ tidak masuk, tapi saat $3x = 3\pi/2$ masuk) dan minimum adalah $-1$. Namun, pada interval $[\frac{5}{6}\pi, 2\pi]$, nilai maksimum adalah $\sin(3\pi/2) = -1$ (salah, nilai maksimum adalah $\sin(2\pi)=0$ atau $\sin(5\pi/6)=0.5$) dan minimum adalah $\sin(3\pi/2)=-1$. Maksimum adalah $\sin(5\pi/6)=1/2$ atau $\sin(2\pi)=0$, jadi $1/2$. Minimum adalah $-1$Untuk (5), $z = e^{i\pi/3}$. Ini adalah akar ke-6 dari 1. Jumlah $z+z^2+z^3+z^4+z^5 = \frac{z(1-z^5)}{1-z}$. Karena $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 = 0$, maka jumlah tersebut adalah $-1$Untuk (6), alas adalah persegi sisi 1. Tinggi piramida dapat dicari dari segitiga $R$ (sisi $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$). Karena $1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$, ini segitiga siku-siku. Tinggi piramida $h = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (1/2)^2} = \sqrt{7}/2$. Volume $V = \frac{1}{3} \times 1^2 \times \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{6}$

Berikut adalah penyelesaian untuk pertanyaan-pertanyaan tersebut:Pertanyaan 2Persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Karena lingkaran bersinggungan dengan $y=x^2$ di $(t, t^2)$, maka gradien garis singgung parabola $y'=2x$ pada $x=t$ adalah $2t$. Garis normal di titik tersebut memiliki gradien $-1/(2t)$. Persamaan garis normal adalah $y - t^2 = -\frac{1}{2t}(x - t)$. Pusat lingkaran $(a, b)$ terletak pada garis normal ini, sehingga $b - t^2 = -\frac{1}{2t}(a - t)$Karena lingkaran bersinggungan di dua titik $(t, t^2)$ dan $(-t, t^2)$, maka $a=0$. Substitusi $a=0$ ke persamaan normal: $b - t^2 = -\frac{1}{2t}(-t) = 1/2$, sehingga $b = t^2 + 1/2$. Jarak dari pusat $(0, t^2 + 1/2)$ ke titik $(t, t^2)$ adalah jari-jari $r$: $r^2 = (t-0)^2 + (t^2 - (t^2 + 1/2))^2 = t^2 + 1/4$. Maka $r = \sqrt{t^2 + 1/4}$Untuk $t = 1/2$, maka $a=0$, $b = (1/2)^2 + 1/2 = 3/4$, dan $r^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$. Luas daerah $S$ adalah luas juring lingkaran dikurangi luas daerah di bawah parabola. Dengan integrasi,

$S = \int_{-1/2}^{1/2} (\sqrt{1/2 - x^2} + 3/4 - x^2) dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3}$

Jawaban: (1) $a=0, b=t^2+1/2, r=\sqrt{t^2+1/4}$ (2) $S=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{3}$Pertanyaan 3Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$. Untuk $g(x) = f(1/x)$, gunakan aturan rantai: $g'(x) = f'(1/x) \cdot (-1/x^2) = \frac{1}{1+(1/x)^2} \cdot (-1/x^2) = \frac{1}{(x^2+1)/x^2} \cdot (-1/x^2) = -\frac{1}{1+x^2}$$f(1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt = [\arctan(t)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \pi/4$Karena $f'(x) + g'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$, maka $f(x) + g(x) = C$. Untuk $x=1$, $C = f(1) + g(1) = f(1) + f(1) = 2f(1) = 2(\pi/4) = \pi/2$$\lim_{x\to \infty} f(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^2} dt = [\arctan(t)]_{0}^{\infty} = \lim_{t\to \infty} \arctan(t) - 0 = \pi/2$Jawaban: (1) $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}, g'(x)=-\frac{1}{1+x^2}$

(2) $f(1)=\frac{\pi}{4}$ (3) $C=\frac{\pi}{2}$ (4) $\lim_{x\to \infty} f(x)=\frac{\pi}{2}$