Math (b) Ga 2017 MEXT Monbukagakusho

https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

 Jawaban: (1) 2, (2) $\pi/6, 11/6$, (3) $\sqrt{3}-1$, (4) $\frac{1-t^2}{1+t^2}$, (5) 1024, (6) (2, 3, 6)PenjelasanUntuk (1), gunakan sifat logaritma: $\log_{10} \frac{4}{5} + 2\log_{10} 5^{3/2} = \log_{10} 4 - \log_{10} 5 + 3\log_{10} 5 = \log_{10} 4 + 2\log_{10} 5 = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 = \log_{10} 100 = 2$Untuk (2), $2\cos x < \sqrt{3} \implies \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Pada interval $0 \leq x < 2\pi$, nilai $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ terjadi di $x = \frac{\pi}{6}$ dan $x = \frac{11\pi}{6}$. Maka, $\frac{\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$Untuk (3), kuadratkan kedua sisi: $2-2a = a^2 \implies a^2 + 2a - 2 = 0$. Gunakan rumus kuadrat: $a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Karena $\sqrt{2-2a} \geq 0$, maka $a \geq 0$, sehingga $a = \sqrt{3}-1$Untuk (4), persamaan garis melalui $(-1,0)$ dan $(0,t)$ adalah $y = tx + t$. Substitusi ke $x^2 + y^2 = 1$: $x^2 + (tx+t)^2 = 1 \implies x^2 + t^2x^2 + 2t^2x + t^2 - 1 = 0 \implies (1+t^2)x^2 + 2t^2x + (t^2-1) = 0$. Akar-akarnya adalah $x_1 = -1$ dan $x_2 = a$. Dari rumus jumlah akar $x_1 + x_2 = \frac{-2t^2}{1+t^2}$, maka $-1 + a = \frac{-2t^2}{1+t^2} \implies a = 1 - \frac{2t^2}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$Untuk (5), gunakan identitas binomial $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$. Untuk $n=10$, hasilnya $2^{10} = 1024$Untuk (6), cari solusi bilangan asli $x < y < z$ untuk $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$. Jika $x=2$, $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$. Solusi yang memenuhi adalah $(2, 3, 6)$. Jika $x=3$, $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}$, tidak ada solusi $x < y < z$

Jawaban:

2. (1) $S = \frac{1}{6}(b-a)^3$

(2) $a = -b - \frac{1}{2b}$

(3) $m = \frac{4}{3}$, $b = \frac{1}{2}$

3. (1) $4(r^2-t^2)$

(2) $\frac{16}{3}r^3$

PenjelasanUntuk bagian 2(1), persamaan garis $l$ yang melalui $(a, a^2)$ dan $(b, b^2)$ adalah $y - a^2 = \frac{b^2 - a^2}{b - a}(x - a)$, yang disederhanakan menjadi $y = (a+b)x - ab$. Luas daerah $S$ adalah integral dari selisih fungsi: $S = \int_{a}^{b} ((a+b)x - ab - x^2) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{a+b}{2}x^2 - abx]_a^b = \frac{1}{6}(b-a)^3$Untuk bagian 2(2), gradien garis singgung di $(b, b^2)$ adalah $y' = 2x$, sehingga $m_t = 2b$. Karena garis $l$ tegak lurus dengan garis singgung tersebut, gradien garis $l$ adalah $m_l = -\frac{1}{2b}$. Dari persamaan garis $l$ di langkah 1, gradiennya adalah $a+b$. Maka, $a+b = -\frac{1}{2b}$, sehingga $a = -b - \frac{1}{2b}$Untuk bagian 2(3), substitusikan $a$ ke dalam rumus $S$: $b-a = b - (-b - \frac{1}{2b}) = 2b + \frac{1}{2b}$. Maka $S = \frac{1}{6}(2b + \frac{1}{2b})^3$. Karena $a < b$, maka $-b - \frac{1}{2b} < b \implies 2b + \frac{1}{2b} > 0$, yang terpenuhi untuk $b > 0$. Dengan ketaksamaan AM-GM, $2b + \frac{1}{2b} \geq 2\sqrt{2b \cdot \frac{1}{2b}} = 2$. Nilai minimum $S = \frac{1}{6}(2)^3 = \frac{4}{3}$ tercapai saat $2b = \frac{1}{2b} \implies 4b^2 = 1 \implies b = \frac{1}{2}$Untuk bagian 3(1), pada bidang $z=t$, kondisi $x^2+t^2 \leq r^2$ menjadi $|x| \leq \sqrt{r^2-t^2}$ dan $y^2+t^2 \leq r^2$ menjadi $|y| \leq \sqrt{r^2-t^2}$. Ini membentuk sebuah persegi dengan panjang sisi $2\sqrt{r^2-t^2}$. Luas penampang $A(t) = (2\sqrt{r^2-t^2})^2 = 4(r^2-t^2)$Untuk bagian 3(2), volume $V = \int_{-r}^{r} A(t) dt = \int_{-r}^{r} 4(r^2-t^2) dt = 4[r^2t - \frac{1}{3}t^3]_{-r}^{r} = 4((r^3 - \frac{1}{3}r^3) - (-r^3 + \frac{1}{3}r^3)) = 4(\frac{4}{3}r^3) = \frac{16}{3}r^3$