Math (b) Ga 2016 MEXT Monbukagakusho

https://www.studyinjapan.go.jp/en/planning/scholarships/mext-scholarships/examination.html

Jawaban dari : Aplikasi gauth pro

Jawaban: (1) 12, (2) 2, (3) Maksimum: $\sqrt{3}$, Minimum: $\frac{\sqrt{3}}{2}$, (4) 1: 1, 2: 1, 3: 0PenjelasanMenyelesaikan persamaan logaritma $\log_{3}6 - \log_{9}x = \frac{1}{2}$Ubah basis logaritma menjadi 3: $\log_{9}x = \frac{\log_{3}x}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}x}{2}$Persamaan menjadi $\log_{3}6 - \frac{1}{2}\log_{3}x = \frac{1}{2}$Kalikan dengan 2: $2\log_{3}6 - \log_{3}x = 1 \Rightarrow \log_{3}36 - \log_{3}x = \log_{3}3$Maka $\log_{3}(\frac{36}{x}) = \log_{3}3 \Rightarrow \frac{36}{x} = 3 \Rightarrow x = 12$Menyelesaikan $(\tan \alpha + 1)(\tan \beta + 1)$ dengan $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$Ekspansi: $\tan \alpha \tan \beta + \tan \alpha + \tan \beta + 1$

Gunakan rumus $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$Maka $\tan \alpha + \tan \beta = 1 - \tan \alpha \tan \beta$Substitusi ke ekspansi: $\tan \alpha \tan \beta + (1 - \tan \alpha \tan \beta) + 1 = 2$Mencari maksimum dan minimum $\sin x + \sin y$ dengan $x+y = \frac{2\pi}{3}$$\sin x + \sin y = 2 \sin(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) \cos(\frac{x-y}{2}) = \sqrt{3} \cos(\frac{x-y}{2})$Karena $x, y \geq 0$ dan $x+y = \frac{2\pi}{3}$, maka rentang $\frac{x-y}{2}$ adalah $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$Nilai maksimum terjadi saat $\cos(\frac{x-y}{2}) = 1$ (yaitu $x=y=\frac{\pi}{3}$), hasilnya $\sqrt{3}$Nilai minimum terjadi saat $\cos(\frac{x-y}{2})$ paling kecil, yaitu pada batas $\frac{x-y}{2} = \pm \frac{\pi}{3}$, hasilnya $\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$Analisis logika.Premis: $M=2 \Rightarrow N=2$ dan $L=1 \Rightarrow N=2$Kontrapositif: $N=1 \Rightarrow M \neq 2$ (maka $M=1$) dan $N=1 \Rightarrow L \neq 1$ (maka $L=2$).Jadi, jika $N=1$, maka angka tersebut harus 112.Jika $N=2$, $M$ dan $L$ bisa bernilai 1 atau 2 (karena tidak ada batasan untuk $N=2$).Kesimpulan:1 Jika $N=1$, maka $M=1$ dan $L=2$. (Benar, maka 1)2 Jika $M=2$ dan $L=1$, maka $N=2$. (Benar, maka 1)3 Jika $N=2$, maka $M=2$ atau $L=1$. (Salah, karena $N=2$bisa terjadi pada 211, 212, 221, 222, maka 0)

Jawaban: 18PenjelasanIdentifikasi struktur graf. Graf tersebut terdiri dari 4 kolom vertikal dengan jumlah titik dari kiri ke kanan adalah 1, 2, 3, 2. Namun, berdasarkan diagram, ini adalah kisi (grid) yang terdiri dari 3 tingkat horizontal dan 4 kolom vertikal.Tentukan jalur dari L ke R melalui 6 langkah (6 edge). L berada di titik tengah kolom pertama. R berada di titik tengah kolom keempat.

 Gunakan metode pelabelan (Pascal's triangle pada grid).Langkah 0: L (1 cara)Langkah 1: 2 titik (masing-masing 1 cara)Langkah 2: 3 titik (1, 2, 1 cara)Langkah 3: 4 titik (1, 3, 3, 1 cara)Langkah 4: 3 titik (3, 6, 3 cara)Langkah 5: 2 titik (9, 9 cara)Langkah 6: R (9 + 9 = 18 cara)

Jawaban: (1) $\frac{1}{2}(r^2-t^2)$, (2) $\frac{2}{3}r^3$, (3) $a=r\theta, b=r\sin\theta$, (4) $2r^2$PenjelasanUntuk bagian (1), irisan silinder dengan bidang $x=t$ dibatasi oleh $x^2+y^2 \leq r^2$ yang menjadi $y^2 \leq r^2-t^2$, sehingga

sehingga $-\sqrt{r^2-t^2} \leq y \leq \sqrt{r^2-t^2}$. Karena syarat $0 \leq z \leq y$, maka $y$ harus positif ($0 \leq y \leq \sqrt{r^2-t^2}$). Luas penampang adalah integral dari $z$ terhadap $y$, yaitu $\int_{0}^{\sqrt{r^2-t^2}} y \, dy = \frac{1}{2}(r^2-t^2)$Untuk bagian (2), volume $V$ diperoleh dengan mengintegralkan luas penampang terhadap $t$ dari $-r$ sampai $r$: $V = \int_{-r}^{r} \frac{1}{2}(r^2-t^2) \, dt = \frac{1}{2} [r^2t - \frac{1}{3}t^3]_{-r}^{r} = \frac{1}{2} ((r^3 - \frac{1}{3}r^3) - (-r^3 + \frac{1}{3}r^3)) = \frac{2}{3}r^3$Untuk bagian (3), panjang busur $a$ pada lingkaran dasar dari sudut $0$ ke $\theta$ adalah $r\theta$. Panjang segmen garis $b$ dari $(r\cos\theta, r\sin\theta, 0)$ ke $(r\cos\theta, r\sin\theta, r\sin\theta)$ adalah selisih koordinat $z$, yaitu $r\sin\theta$

Untuk bagian (4), luas permukaan samping silinder $x^2+y^2=r^2$ dibatasi oleh $0 \leq z \leq y$. Dalam koordinat silinder ($x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$), batas $0 \leq z \leq r\sin\theta$ dan $0 \leq \theta \leq \pi$. Luas permukaan $S = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r\sin\theta} r \, dz \, d\theta = \int_{0}^{\pi} r^2\sin\theta \, d\theta = r^2[-\cos\theta]_{0}^{\pi} = r^2(1 - (-1)) = 2r^2$

Jawaban: (1) $a^nx + b\frac{1-a^n}{1-a}$, (2) $\frac{ax-x+b}{a}$, (3) $x_n = \frac{b(a-1)}{a^2-a+1}, y_n = \frac{a^2b}{a^2-a+1}$, (4) $\frac{b}{1-a}$PenjelasanMenentukan rumus umum $f^n(x)$Diketahui $f(x) = ax + b$$f^1(x) = ax + b$$f^2(x) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$$f^3(x) = a(a^2x + ab + b) + b = a^3x + a^2b + ab + b$

Dengan pola tersebut, $f^n(x) = a^nx + b(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + 1)$Menggunakan rumus deret geometri, $f^n(x) = a^nx + b\frac{1-a^n}{1-a}$Menentukan nilai $\frac{f^n(x) - f^{n-1}(x)}{a^n}$$f^n(x) - f^{n-1}(x) = (a^nx + b\frac{1-a^n}{1-a}) - (a^{n-1}x + b\frac{1-a^{n-1}}{1-a})$

$= x(a^n - a^{n-1}) + \frac{b}{1-a}(1 - a^n - 1 + a^{n-1})$

$= a^{n-1}x(a - 1) + \frac{b}{1-a}(a^{n-1} - a^n)$

$= a^{n-1}x(a - 1) + \frac{b}{1-a}a^{n-1}(1 - a) = a^{n-1}x(a - 1) + ba^{n-1}$

Maka, $\frac{f^n(x) - f^{n-1}(x)}{a^n} = \frac{a^{n-1}(ax - x + b)}{a^n} = \frac{ax - x + b}{a}$Mencari titik potong $Q(x_n, y_n)$Persamaan kurva adalah $y = \frac{ax - x + b}{a}$ (konstan terhadap $n$).Persamaan garis adalah $y = ax + b$Titik potong terjadi saat $\frac{ax - x + b}{a} = ax + b$$ax - x + b = a^2x + ab$$x(a - 1 - a^2) = ab - b$$x_n = \frac{b(a - 1)}{a^2 - a + 1}$Substitusi ke $y = ax + b$:$y_n = a(\frac{b(a - 1)}{a^2 - a + 1}) + b = \frac{a^2b - ab + a^2b - ab + b}{a^2 - a + 1} = \frac{b(a^2)}{a^2 - a + 1}$Menghitung limit $\lim_{n \to \infty} f^n(x)$Karena $-1 < a < 1$, maka $\lim_{n \to \infty} a^n = 0$$\lim_{n \to \infty} (a^nx + b\frac{1-a^n}{1-a}) = 0 \cdot x + b\frac{1-0}{1-a} = \frac{b}{1-a}$