15 soal SIMAK UI 2018 Matematika Dasar dan Pembahasan

1. Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi
$\sqrt[3]{x}=$ $\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$

adalah ....

A. -8 ✔   B. -6     C. 4    D. 6    E. 8

Pembahasan

$\sqrt[3] x = \frac{2}{1+\sqrt[3]x}$

$a (1+a) = 2$

$a + a^2 = 2$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$$\sqrt[3] x = -2$ U $ \sqrt[3] x = 1$

$x = -2 ^3 = -8 $ U x = 1

2. Jika $2+{}^2\log x=3+{}^3\log y={}^6\log (x-y),$ nilai $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}$ adalah ....

A. 36    B. 54    C. 81   D. 108 ✔  E. 216
Pembahasan
$2 + ^2\log x = 3 + ^3\log y = ^6 \log(x-y) = a$
$2 + ^2\log x = a, x = 2^(a-2) = \frac{2^a}{4}$

$3 + ^3\log y = a, y = 3^{a-3} = \frac{3^a}{27}$

$^6 \log{x-y} = a$
$x-y = 6^a$
$\frac{x-y}{xy} = \frac{6^a}{xy}$
$\frac 1y - \frac 1x = \frac{6^a}{xy}= \frac{6^a}{\frac{2^a}{4} \frac{3^a}{27}} = 108 $

3. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan-bilangan real tidak nol dan persamaan kuadrat $x^{2}+p x+q=0$ mempunyai solusi $p$ dan $q$, maka $p^2-2q=$ ....

A. 2       B. 3      C. 4       D. 5✔         E. 8

Pembahasan

pq = q

p = 1   

p+q = -p

q = -2p = -2

4. Jika $a-3=-b-4=-c-5=d+6=e+7=$ $a-b-c+d+e+8,$ maka $a-b-c+d+e=$ ....

Pembahasan

a - b - c + d + e = p

p + 8 = a - 3 --> p = a - 11

p + 8 = -b - 4 --> p = -b - 12

p + 8 = -c - 5 --> p = -c - 13

p + 8 = d + 6 --> p = d - 2

p + 8 = e + 7 --> p = e - 1

5p = a -b -c + d + e - 39

5p = p -39 

p = -39/4

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{x^2-4}\leq 3-$ $x$ adalah ....
Pembahasan

$\sqrt{x^2 - 4} ^2 ≤ (3 - x)^2 $

$x^2 - 4 ≤ 9 - 6x + x^2 $

$6x ≤ 13$

$\sqrt{x^2 - 4} >= 0$

$x >= 2   $    U   $ x ≤ -2$

$x ≤ -2 $     U     $ 2 ≤  x ≤ 13/6$

6. Barisan tiga bilangan real membentuk barisan aritmetika dengan suku awal 9. Jika 2 ditambahkan pada suku ke-2 dan 20 ditambahkan ke suku ke-3, tiga bilangan real tersebut membentuk barisan geometri. Nilai yang mungkin untuk suku ke-3 barisan geometri tersebut adalah ....

A. 6    B. 20     C. 21     D. 29     E. 36

Pembahasan
9 , x , y aritmatika
9 , x + 2 , y + 20 geometri
y + 20 = ...


U2 arit --> 9+b = x
U2 geo --> 9.r = x + 2
9r = b + 11


U3 arit --> 9+2b = y
U3 geo --> 9r^2 = y + 20
9r^2 = 2b + 29
9r . r = 2b + 29
(b+11)r = 2b + 29
(b+11)9r = 9(2b+29)
(b+11)^2 = 18b + 180 + 81
b^2 + 22b + 121 = 18b + 261
b^2 + 4b - 140 = 0
(b+14)(b-10) = 0
b = -14, b = 10


U3 aritmatik --> y = 9 + 2b = 29 atau y = 9 - 2b = -19
U3 geometrik --> y + 20 = 49 atau y + 20 = 1

7. Jika 

$A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & x \\ 2 & y & z\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -2 \\ -1 & 1\end{array}\right]$ dan determinan matriks $A B$ adalah 0 , nilai $2 x y-x-y$ adalah .....

Pembahasan

AB = -1+-1+-x      2+x

           2+y-z        -2y+z

det AB = (-x-2)(-2y+z) - (2+x)(2+y-z) = 0

det AB = (2+x)(2y - z - 2 - y + z) = 0

det AB = (2+x)(y-2) = 0

x = -2  atau y = 2

2xy = - 8

-x-y = 0

8. Daerah 

$R$ persegi panjang yang memiliki titik sudut $\quad(-1,1),(4,$ 1), $(-1,-5),$ dan ($4$-$5$) . Suatu titik akan dipilih dari $R$. Probabilitas akan tepilih titik yang berada di atas garis $y=\dfrac{3}{2}x-5$ adalah ....

Pembahasan

(-1,1) = a , (4,1) = b, (-1,-5) = c, (4,-5) = d

pq = garis, y = 3/2 x - 5

                                    5

                                    4     

                                    3

                                    2

                             a    1                       b

                                                        q               

-5    -4    -3    -2    -1            1   2    3   4   5   6

                                    -1

                                    -2

                                    -3

                                    -4

                             c     -5p                    d

                                    -6

probabilitas titik di bawah garis = luas segitiga/luas persegi = 10/25 = 2/5

Lpersegi = 5x5 = 25, Lsegitiga = 1/2at = 1/2(4)(5) = 10

probabilitas titik di atas garis = 1 - 2/5 = 3/5

9. Diketahui 

$f$ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f^{\prime}(1)=3,$ maka $f(4)=$ ....

Pembahasan

f = ax^2 + bx  + c

f' = 2ax + b

f'(1) = 2a + b = 3

f'(-1) = gradien garis singgung y = -x + 1 

f'(-1) = -1

-2a + b = -1

b = 1

a = 1

f = x^2 + x + c 

f(-1) = y(-1)

1 - 1 + c = 2

c = 2

f(4) = 16 + 4 + 2 = 22

10. Banyak cara memilih 2 pemain untuk bermain dalam permainan ganda dari 10 pemain yang ada adalah ....

Pembahasan

10C2 = 10 x 9 / 2 = 45

11. 


Diketahui segitiga siku-siku AED dan BFC dibuat di dalam persegi panjang ABCD sehingga F terletak pada DE seperti tampak pada gambar. Jika AE=7, ED=24, dan BF=15, panjang AB adalah ....

Pembahasan

AD = 25, CF = 20, <ADE = a, <FCB = b, maka <CDF = 90-a, <DCF = 90 - b, <CFD = a+b

CD/sin(a+b) = CF/sin(90-a)

CD = 20 sin(a+b)/cos a = 20(sinacosb + cosasinb)/cos a

sin a = 7/25     cos a = 24/25

sin b = 15/25   cos b = 20/25

DC = 50/3 = AB

 
12. Jika $f\left(\dfrac{x}{3}\right)=x^2+x+1$, jumlah kuadrat nilai-nilai $y$ yang memenuhi $f(3 y)=5$ adalah ....

Pembahasan

f(x/3) = x^2 + x + 1

f(x) = ax^2 + bx + c

f(x/3) = ax^2/9 + bx/3 + c = x^2 + x + 1

a = 9, b = 3, c = 1

f(x) = 9x^2 + 3x + 1

f(3y) = 5

f(3y) = 9.(3y)^2 + 3(3y) + 1 = 5

$81y^2 + 9y + 1 = 5$

$81y^2 + 9y - 4 = 0$

$y1^2 + y2^2 = (y1+y2)^2 - 2y1y2 = (-1/9)^2 - 2(-4/81) = (1/81) + (8/81) = 1/9$

13. Jika 

$f(x+1)=\dfrac{2x-7}{x+1},$ maka ....

(1) $f(-1)=11$ ✔

(2) $f^{-1}(-1)=3$ ✔

(3) $(f\circ f)^{-1}(-1)=-9$ ✔

(4) $\dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9}$      ✔

Pembahasan

1. f(-1) saat x = -2, --> f(-1) = (2(-2)-7)/-1 = 11

aturan invers 

$f^{-1} (f(p)) = p$

$f(f^{-1}(p)) = p $

2. Jika $f^{-1}(-1)) = 3$

$f(f^{-1}(-1)) = f(3) = -1$     memenuhi aturan

3. $(fof)^{-1}=(-9)$

$(fof)(fof)^{-1}=(fof)(-9)$

(fof)(-9) = -1

f(f(-9))=-1     benar

4. $f^{-1}(-2) = 9/4$

$f(f^{-1}(-2))=f(9/4) = -2$   benar

14. Jika 

$f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+1},f(0)=f^{\prime }(0),$ dan $f^{\prime }(-1)=1,$ maka ....

(1) $a+b=4$ ✔

(2) $f(1)=2$ ✔

(3) $f(-2)=-\dfrac{2}{5}$✔

(4) $y=x+1$ adalah garis singgung dari fungsi $f(x)$ di $x=-1$ ✔

Pembahasan

1. f'(x) = ((a)(x^2+1) - (2x)(ax + b))/(x^2+1)^2

f '(0)= (a - b) = f(0) = b --> a = b

f '(-1) = 1 = ((2a + 2(b-a))/4 -->b = 2, a = 2

4. f(-1) = 0, y = x + 1 --> y(-1) = 0

15. Rata-rata dari tiga buah bilangan adalah 8 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 14 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 10, maka ....

(1) jangkauannya adalah 22 ✔

(2) variansnya adalah 124   X

(3) jumlahnya adalah 48 ✔

(4) simpangan rata-ratanya adalah 8   X

Pembahasan

a,b,c ---> b = 10

(a+10+c)/3 = a + 8 = c - 14

a+10+c = 3a + 24 = 3c - 42

2a = -14 + c

a = 2c - 52 -- > 2a = 4c - 104

3c = 90, c = 30 , a = 8

jangkauan = 30 - 8 = 22