Persamaan Lingkaran - Pembahasan Soal 2

1. Sebuah lingkaran dengan radius 2 cm berada di titik pusat. Sebuah garis 3x + 4y - 12 = 0 ada pada bidang. Berapa jarak terpendek dari sebuah titik di lingkaran ke titik di garis?

Jawab

Cara 1

jarak terpendek berarti garis yang ditarik dari titik pusat (0,0)

lingkaran akan tegak lurus dengan garis 3x + 4y - 12 = 0 di suatu titik misal (xm,ym) dan garis itu adalah Lm

Lm tegak lurus 3x + 4y - 12 = 0 di (xm,ym)

maka gradien Lm dikali gradien 3x + 4y - 12  = -1

gradien Lm = 4/3

garis Lm melalui (0,0) ber-gradien 4/3 :

y - y1 = m(x - x1)

y - 0 = 4/3(x - 0)

y = 4/3x

mencari titik potong Lm dan 3x + 4y - 12 = 0 (xm, ym) :

substitusi y = 4/3x ke 3x + 4y - 12 = 0

3x + 3x - 12 = 0

x = 36/25

y = 48/25

Lm memotong lingkaran di suatu titik misal (xn , yn)

persamaan lingkaran = $$ x^2 + y^2 = 2^2 $$

Lm = y = 4/3x

substitusi y = 4/3x ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 2^2$

x = 6/5

y = 24/15

jarak (xn , yn) ke (xm, ym)

$\sqrt { {(36/25 - 6/5)}^2 + {(48/25 - 24/15)}^2} }$

 $$\sqrt { {(6/25)}^2 + {(24/75)}^2} }$$ = 0,4 cm

Cara 2

Jarak dari pusat (0,0) ke (xm, ym)

 $\sqrt { {(36/25 - 0)}^2 + {(48/25 - 0)}^2} }$ = 2,4 cm

jarak (xn , yn) ke (xm, ym) = 2,4 cm - radius = 0,4 cm

Cara 3

Rumus khusus Jarak dari suatu garis ke pusat lingkaran

garis Ax + By + c dan pusat (m,n)

D = $ \left| \frac {A.m + B.n + C} {\sqrt {A^2 + B^2} } \right| $

D = $ \left| \frac {3.0 + 4.0 - 12} {\sqrt {3^2 + 4^2} } \right| $

D = 12/5 = 2,4 cm

jarak (xn , yn) ke (xm, ym) = 2,4 - radius = 0,4 cm