Cara Mencari Garis Singgung Kurva dan Elips Matematika SMA

Sebuah kurva dengan persamaan $4x^2+8x+9y^2−36y+4=0 $



Cari :

- Persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva dan sejajar sumbu y

- Persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva dan sejajar sumbu x

- Gambar Elipsnya



Jawab



Persamaan garis yang menyinggung kurva memiliki syarat

gradient garis singgung dan gradient kurva adalah sama untuk (x,y) dimana mereka bersinggungan.



Gradien kurva = turunan pertama kurva $\frac {d(y)} {d(x)} $ = gradien garis yang bersinggungan

 $ 4x^2+8x+9y^2 -36y+4 = 0 $

 $ 4x^2+8x = 9y^2 - 36y+4 $

 $\frac{d(4x^2+8x)}{d(x)} = \frac{d(9y^2-36y+4)}{d(y)}$

 $ (8x + 8) \ d(x) = (18y - 36) \ d(y) $

 $\frac{d(y)}{d(x)} = \frac {8x + 8}{18y - 36} $



- persamaan garis yang sejajar sumbu x memiliki gradien = 0

 $0 = \frac {8x + 8}{18y - 36} $

 8x + 8 = 0

 x = -1,

 $4x2+8x+9y2-36y+4=0$

 $4(-1)^2+8(-1)+9y^2-36y+4=0 $

 $9y^2-36y =0 $

 y = 0 atau y =4

 persamaannya = y = 0 atau y =4



- persamaan garis yang sejajar sumbu y memiliki gradien = tak terdefinisi

tak terdefinisi bila pembagi adalah nol, berarti :

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac {8x + 8}{18y - 36} $

 18y - 36 = 0

 y = 2,

 $4x2+8x+9y2-36y+4=0$

 $4x^2+8x+9(2)^2-36(2)+4=0 $

 $4x^2+8x+ 36 -72 +4=0 $

 $4x^2+8x -32 = 0$

 $x^2+2x -8 = 0$

 (x-2)(x+4) = 0

 x = 2 atau x = -4

 persamaannya = x = 2 atau x = -4



- Gambar Elipsnya



ubah $4x^2+8x+9y^2-36y+4=0 $ ke persamaan umum elips

 $\frac {(x-h)^2}{a^2} + \frac {(y-k)^2}{b^2}$

 $4x^2+8x+9y^2-36y+4=0 $

 $4x^2+8x+9y^2-36y = -4 $

 $4(x^2+ 2x + 1) + 9(y^2-4y+4)= -4 + 4 + 36 $

 $4(x+1)^2 + 9(y-2)^2 = 36$

 $\frac {4(x+1)^2}{36} + \frac{9(y-2)^2}{36} = \frac {36}{36}$

 $\frac {(x+1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$



pusat = (h,k) = (-1,2)



jari jari a = 3, b = 2

Jika digambar :

$y^3 + 2y = sin x + cos x - 1 + 3x^2$

Cari gradien dari kurva saat menyinggung sumbu-y!



Jawab



menyinggung sumbu-y berarti x = 0

 $y^3 + 2y = sin x + cos x - 1 + 3x^2$

 $y^3 + 2y = sin 0 + cos 0 - 1 + 3.0^2$

 $y^3 + 2y = 0$

 $y (y^2 + 2) = 0$

 y = 0



Gradien kurva = turunan pertama kurva $\frac {d(y)} {d(x)} $

 $\frac{d(y^3 + 2y)}{d(y)} = \frac{d(sin x + cos x - 1 + 3x^2)}{d(x)}$

 $(3y^2 + 2 ) \ d(y) = (cos x - sin x + 6x) \ d(x) $

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac{cos x - sin x + 6x}{3y^2 + 2} $

di titik 0,0

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac{cos 0 - sin 0 + 6.0}{3.0^2 + 2} $

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac 1 2$