15 Soal SIMAK UI 2019 Matematika IPA dengan Kunci Jawaban tanpa Pembahasan

1. garis singgung sebuah lingkaran di titik (2,5) adalah y = 2x + 1 dan pusat lingkaran berada pada garis y = 9 - x. jika lingkaran tersebut memotong sumbu x di titik (x1,0) dan (x2, 0). nilai x1 + x2 = ...

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

E. 15

Pembahasan

mencari hubungan titik a dan titik b

pusat lingkaran misalkan (a,b) dikatakan berada pada garis y = 9 - x maka titik (a,b) memenuhi persamaan garis y = 9 - x yaitu b = 9 - a , maka diketahui hubungan titik a dan titik b

mencari titik pusat dan radius lingkaran

diketahui garis singgung lingkaran pada (2,5) adalah y = 2x + 1

maka jika titik (2,5) disubstitusikan ke rumus garis singgung lingkaran menjadi (2-a)(x-a) + (5-b)(y-b) = r.r akan menghasilkan y = 2x + 1 

ubah (2-a)(x-a) + (5-b)(y-b) = r.r menjadi bentuk y = 2x + 1 

(2-a)x - (2-a)a + (5-b)y - (5-b)b = r.r

(5-b)y = -(2-a)x + (2-a)a + (5-b)b + r.r

y = {-(2-a)x + (2-a)a + (5-b)b + r.r } / (5-b) dimana seharusnya sama dengan y = 2x + 1 , maka nilai a,b dapat dicari :

-(2-a)/(5-b) x = 2x dan b=9-a akan didapat a=6 , b=3

{(2-a)a + (5-b)b + r.r } / (5-b) = 1 dan a=6 , b=3 akan didapat r.r=20

mencari titik potong lingkaran dengan sumbu x (berarti titik y adalah 0)

substitusikan a=6 , b=3 , r.r=20 dan y=0 ke rumus garis singgung lingkaran yaitu (x-a)(x-a) + (y-b)(y-b) = r.r

akan didapat dua nilai x yg berbeda karena diketahui lingkaran memotong sumbu x bukan menyinggung atau mengambang di atas sumbu x

x.x = 12x + 25

yang ditanya hanya x1+x2 = -b/a = 12

2. Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = (akar 2 + 2a)x.x + (akar 2 + 2a)x - 2a + akar 2 selalu berada di atas sumbu x untuk m<a<n , nilai akar 2 (m+5n) = ....

Pembahasan

ditanya adalah nilai akar 2 (m+5n) maka harus mencari nilai m,n

diketahui grafik fungsi kuadrat selalu di atas sumbu x maka cirinya adalah nilai  a>0 , D<0

ax.x + bx + c = fx

a =  (akar 2 + 2a)

b = (akar 2 + 2a)

c = - 2a + akar 2

a>

0 maka (akar 2 + 2a) > 0 maka a>-1/2 akar 2

D<0 maka b.b - 4ac < 0 maka 10a.a + 2 akar 2 a - 3 < 0

10a.a + 2 akar 2 a - 3 < 0

a = 3/10 akar 2 v -1/2 akar 2 

sebelumnya a>-1/2 akar 2 maka -1/2 akar 2 < a < 3/10 akar 2 = m<a<n

nilai akar 2 (m+5n) = 2

3. Jika 

$\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$ merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut: $\left\{ \begin{array}{c}4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x \\ 2x=1+5y\end{array}\right.$ nilai $2x_1+y_1+2x_2+y_2=$ ....

A. -7

B. -6

C. -5

D. -4

E. -3

4. Diketahui polinomial 

$p(x)=8 x^{3}+a x^{2}+$ bx -1 dengan $a, b$ suatu konstanta. Salah satu faktor $p(x)$ adalah $x+1$ dan $p(x)$ bersisa 1 dibagi dengan $2 x+1$. Jika $p x+q$ dan $m x+n$ adalah dua faktor lain dari $p(x)$ dengan $p, q, m, n$ suatu konstanta, nilai $p+$ $q+m+n=$ ....

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

E. 2

5. Penyelesaian dari pertidaksamaan 

$\dfrac{\sqrt{4x^2+16x+16}}{|1-x|}\leq x$ adalah ....

A. -$1\leq x<1$ atau $x \geq 4$

B. -

$1\leq x<0$ atau $x \geq 3$

C. 

$0 \leq x<1$ atau $x \geq 4$

x≥4 

D. x≥4

E.-

$1\leq x<0$ atau $x \geq 4$

6. Diberikan deret geometri 

$1-(a+3)+(a+$ 3) $^{2}-(a+3)^{3}+\cdots=2 a+9,$ dengan $-4<$ $a<-2$. Jika $a,-7, b$ membentuk barisan geometri baru, nilai $2a+b=$ ....

A. 7

B. 0

C. -7

D. -14

E. -21

7. Banyaknya nilai 

$x$ yang memenuhi persamaan -$\sin x=\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}$ untuk $0\, \leqslant \, x\, \leqslant \, \pi$ adalah ....

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

E. 0

8. Jika 

$\lim _{x\rightarrow 2}f(x)=3,$  maka $\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac{(f(x)-3)\left((f(x))^2-4f(x)+1\right)(x+5)}{\left((f(x))^2+f(x)-12\right)(x-1)}=$ ....

A. -4

B. -2

C. -1

D. 0

E. 1

9. Jika 

$\int ^b_af^{\prime }(x)f(x)dx=10$ dan $f(a)=2+$ $f(b),$ nilai $f(b)=$ ....

A. -2

B. -4

C. -6

D. -8

E. -10

10. Diketahui kubus 

$A B C D . E F G H \quad$ dengan panjang rusuk 2. Titik $P, Q, R,$ dan $S$ berturut-turut adalah titik tengah dari $E H, F G, A D,$ dan $B C$. Jika bidang $P Q R S$ dan $A C H$ berpotongan di garis $M N$, perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus adalah ....

A. $\sqrt{3}:16$

B. $\sqrt{3}:18$

C. $\sqrt{3}:24$

D. $\sqrt{3}:48$

E. $\sqrt{3}:50$

11. Diketahui kubus 

$ABCD.EFGH$ panjang rusuk $2$. Jika titik $P$ terletak pada perpanjangan $E A$ dengan $EP=2EA,$ cosinus sudut antara bidang $P H F$ dan $C H F$ adalah ....

A. $ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

B. $ \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$

C. $ \dfrac{1}{4}\sqrt{3}$

D. $ \dfrac{1}{5}\sqrt{3}$

E. $ \dfrac{1}{6}\sqrt{3}$