Mari kita simak soal dan pembahasannya.
Nomor 1 -17
1. Jika 3x + 5y = 18 . nilai maksimum 3x . 5y adalah ...
Pembahasan
3x + 5y = 18
p + q = 18
pq = p(18-p)
pq = 18p – p2
pq’ = 0
18 – 2p = 0
p = 9
q = 9
pq = 81
(SIMAK UI 2018 SAINTEK)
2. Jika a + b – c = 2 , a2 + b2 – 4c2 = 2 dan ab = 3/2 c2 , nilai c adalah ...
Pembahasan
a + b – c = 2
a + b = 2 + c
( a + b ) 2 = ( 2 + c ) 2
a2 + b2 + 2ab = 4 + 4c + c2
a2 + b2 + 2 ( 3/2 c2 ) = 4 + 4c + c2
a2 + b2 = 4 + 4c – 2 c2
a2 + b2 – 4c2 = 2
a2 + b2 = 4c2 + 2
4 + 4c – 2 c2 = 4c2 + 2
6 c2 – 4c – 2 = 0
3 c2 – 2c – 1 = 0
( 3c + 1 )( c – 1 ) = 0
c = – 1/3 atau c = 1
(SIMAK UI 2018 SAINTEK)
3. Diketahui 2x – 2y2 = a – 1 , 2x + ay = 1 memiliki tepat 2 solusi ( x, y ). Jika a adalah bilangan bulat dengan -2017 < a < 2017 maka banyaknya nilai a yang memenuhi adalah ....
Pembahasan
2x – 2y2 = a – 1 dan 2x + ay = 1 memiliki 2 solusi
2x + ay = 1
2x = 1 – ay
2x – 2y2 = a – 1
1 – ay – 2y2 = a – 1
2y2 + ay + a – 2 = 0
D > 0
a 2 – 4 . 2 . ( a – 2 ) > 0
a 2 – 8 a + 16 > 0
( a – 4 ) 2 > 0
Supaya D > 0 , a ≠ 4
banyak bilangan bulat yang memenuhi di antara -2017 < a < 2017
-2016, -2015, ... 0, ... , 2016
Un = a ( n – 1 ) b
2016 = – 2016 ( n – 1 ) 1
n – 1 = 4032
(SIMAK UI 2017 SAINTEK)
4. 21x2 – 21px + 49p – 7 = 0, memiliki akar u dan v tidak bulat dengan u, v ≥ 1 maka u+v adalah ...
Pembahasan
21x2 – 21px + 49p – 7 = 0 ≡ 3x2 – 3px + 7p – 1 = 0
Persamaan kuadrat memiliki dua akar memiliki deskriminan > 0.
D > 0
b2 – 4ac > 0
32 p2 – 4 . 3 . (7p-1) > 0
3(3p2 – 28p + 4) > 0
Rumus abc
p1,2 = (14 ± 2√46) / 3
p1 < 0,145 atau p2 > 9,188
Rumus penjumlahan akar –b/a
u + v = – (– 3p)/3 = p
u≥1
p≥1
u + v ≥ 2
u + v = p
u + v ≥ 9,198
(SIMAK UI 2017 SAINTEK)
5. Misalkan u dan v adalah akar dari Bx2 – Bpx + 8p + 2 = 0 dengan B≠0 dan (Bu–8)(Bv–8) = –B2 – 14B, maka B = ...
Pembahasan
Bx2 – Bpx + Bp + 2 = 0
Rumus penjumlahan akar = –b/a dan perkalian akar = c/a
u+v = – (– Bp) /B = p
u.v = (8p + 2)/B
(Bu–8)(Bv–8) = –B2 – 14B
B2u.v – 8Bu – 8Bv + 64 = –B2 – 14B
B2[(8p + 2)/B] – 8B(u + v) + 64 = –B2 – 14B
B(8p + 2) – 8Bp + 64 = –B2 – 14B
B2 + 16B + 64 = 0
(B + 8)2 = 0
B = -8
(SIMAK UI 2016 SAINTEK)
6. Jika x, y, z bilangan bulat yang memenuhi 16x – 20 y + 24 z = 4A dan x + z = 5 + y , dengan y – 2z < 0 dan 2x > y. Bilangan asli A yang memenuhi sistem tersebut adalah ....
Pembahasan
y – 2z < 0 , y – 2x < 0
16x – 20 y + 24 z = 4A
4x – 5 y + 6 z = A
x + z = 5 + y
x – y + z = 5
4x – 5 y + 6 z = A
6x – 6y + 6z = 5 . 6
– 2x + y = A – 30 , y – 2x < 0
A – 30 < 0
A < 30
4x – 5 y + 6 z = A
4x – 4y + 4z = 5 . 4
y – 2 z = 20 – A , y – 2z < 0
20 – A < 0
A > 20
20 < A < 30
(SIMAK UI 2016 SAINTEK)
7. Banyak persamaan bilangan bulat ( x , y ) yang memenuhi sistem persamaan :
x + y – 1 = x2 + xy + y2
x + y – 1 = xy + 1
adalah ...
Pembahasan
x2 + xy + y2 = xy + 1
x2 + y2 = 1
( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( -1 , 0 ) ( 0 , -1 )
(SIMAK UI 2015 SAINTEK)
8. Jika m adalah jumlah semua bilangan asli k yang mungkin sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat f(x) = kx2 – x – 4 dan g(x) = x2 - kx – 4 – k2 tepat bersinggungan di satu titik, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat 3mx2 – (m+1) x – 5 = 0 adalah ....
Pembahasan
f(x) = kx2 – x – 4 dan g(x) = x2 - kx – 4 – k2
bersinggungan di satu titik :
kx2 – x – 4 = x2 - kx – 4 – k2
(k - 1) x2 + (k – 1)x + k2 = 0
D = 0
b2 – 4ac = 0
(k-1)2 – 4 . (k-1) k2 = 0
(k-1)(k-1 – 4k2) = 0
k = 1
3mx2 – (m+1) x – 5 = 0
3x2 – 2x – 5 = 0
rumus jumlah akar adalah –b/a dan perkalian akar-akar adalah c/a
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2
x12 + x22 = (2/3)2 – 2(-5/3)
x12 + x22 = 4/9 + 10/3
x12 + x22 = 34/9
(SIMAK UI 2015 SAINTEK)
9. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :
x2 – xy + 3y2 + 2x – 5y + 4 = 0
x + 2y = 4
maka x2 – y2 = ...
Pembahasan
x = 4 – 2y
x2 – xy + 3y2 + 2x – 5y + 4 = 0
x( x – y + 2 ) + 3y2 – 5y + 4 = 0
( 4 – 2y )( 4 – 2y – y + 2 ) + 3y2 – 5y + 4 = 0
9y2 – 29y + 20 = 0
( 9y – 20 )( y – 1 ) = 0
y = 20/9 atau y = 1
x , y bilangan bulat
y = 1, x = 2
x2 – y2 = 3
(SIMAK UI 2012 SAINTEK)
10. Persamaan kuadrat x2 – pqx + p2 + q2 = 0 dengan akar-akarnya x1 dan x2 dengan 2x1 x2 = 5 (x1 + x2 ). Pernyataan berikut yang benar untuk hubungan p dan q adalah ...
(1) p = q
(2) p = 2q
(3) p = q + 2
(4) 2p = q
(2) p = 2q
(3) p = q + 2
(4) 2p = q
Pembahasan
2x1 x2 = 5 (x1 + x2 )
p2 + q2 = 5(pq)
(1) p = q p ≠ q
(2) p = 2q
p = 2q
2 { (2q)2 + q2 } = 10q2
10q2 = 10q2
(3) p = q + 2 p ≠ q + 2
(4) 2p = q
(SIMAK UI 2012 SAINTEK)
11. Jika sistem persamaan
ax + 2y = b + 1
x + y = 3
dan
2x + y = a2 + 2
x + 3y = 3
mempunyai solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan (a,b) adalah ...
Pembahasan
x + y = 3
x + 3y = 3
x + y = x + 3y
y = 0, x = 3
2x + y = a2 + 2
2.3 + 0 = a2 + 2
a2 = 4
a = ± 2
ax + 2y = b + 1
a.3 + 2.0 = b + 1
3a = b + 1
a = ± 2
a = 2 , b = –7
a = – 2 , b = 5
( –2 , –7 ) dan ( 2 , 5 )
(SIMAK UI 2011 SAINTEK)
12. Misalkan salah satu akar dari persamaan (k – 5)x2 – 2kx + k – 4 = 0 bernilai lebih dari 2 dan salah satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan k yang memenuhi adalah ....
{k ∈ R | 5 < k < 24}
(B) {k ∈ R | 5 < k < 20}
(C) {k ∈ R | 15 < k < 24}
(D) {k ∈ R | k > 5}
(E) {k ∈ R | k > 24}
Pembahasan
(k – 5)x2 – 2kx + k – 4
(x – a ) ( x – b ) = 0
a > 2 , b < 1
a – b > 1
√D / a > 1
√D > a
D > a2
b2 – 4 ac > a2
(-2k)2 – 4 (k-5) (k-4) > (k-5)2
4k2 – 4 (k2 – 9k + 20 ) > (k2 – 10k + 25)
k2 – 46 k + 105 < 0
k1 + k2 = 46
k1 k2 = 105
{k ∈ R | 5 < k < 24}
(SIMAK UI 2011 SAINTEK)
13. Untuk a < 0, jumlah akar-akar persamaan x2 – 2a|x – a|– 3a2 = 0 adalah ...
Pembahasan
x2 – 2a|x – a|– 3a2 = 0
untuk|x – a| > 0 ≡ x > a
x2 – 2a( x – a ) – 3a2 = 0
x2 – 2ax – a2 = 0
( x – a )2 – 2a2 = 0
x – a = ± a√2
x1,2 = a ± a√2
x1 > a
a + a√2 > a
a√2 > 0 (a < 0) tidak memenuhi
x2 > a
a – a√2 > a
– a√2 > 0 ( a < 0 ) memenuhi
x2 – 2a|x – a|– 3a2 = 0
untuk |x – a| < 0 ≡ x < a
x2 – 2a(– ( x – a ) ) – 3a2 = 0
x2 + 2ax – 5a2 = 0
( x + a )2 – 6a2 = 0
x + a = ± a√6
x3,4 = – a ± a√6
x3 < a
– a + a√6 < a
– 2a + a√6 < 0 ( a < 0 ) memenuhi
x4 < a
– a – a√6 < a
– 2a – a√6 < 0 ( a < 0 ) tidak memenuhi
jumlah akar-akar adalah x2 + x3 = a – a√2 + – a + a√6 = – a√2 + a√6
(SIMAK UI 2010 SAINTEK)
14. Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi sistem persamaan berikut:
(x – 2)(y -1) = 3
(x +2)(2y-5) = 15
adalah ....
Pembahasan
(x – 2)(y -1) = 3
xy – 2y – x + 2 = 3
y(x-2) = 1 + x
y = (1+x)/(x-2)
(x +2)(2y-5) = 15
2xy + 4y – 5x – 10 = 15
2x(1+x)/(x-2) + 4(1+x)/(x-2) = 5x + 25
2x + 2x2 + 4 + 4x = (x-2)(5x + 25)
2x2 + 6x + 4 = 5x2 + 15x – 50
3x2 + 9x – 54 = 0
x1 + x2 = -b/a = -9/3 = -3
(SIMAK UI 2010 SAINTEK)
15. Diketahui persamaan kuadrat x2 + 2px – p2 + 7p – 6 = 0. Nilai p agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah ...
Pembahasan
Persamaan kuadrat memiliki dua akar harus memiliki dekriminan > 0.
x2 + 2px – p2 + 7p – 6 = 0
D > 0
b2 – 4ac > 0
22p2 – 4 . 1 . (– p2 + 7p – 6) > 0
p2 + p2 – 7p + 6 > 0
2p2 – 7p + 6 > 0
( 2p – 3 )( p – 2 ) > 0
p < 3/2 atau p > 2
Akar-akar persamaan berlawanan tanda x1 . x2 < 0
x2 + 2px – p2 + 7p – 6 = 0
rumus perkalian akar-akar adalah c/a
– p2 + 7p – 6 < 0
p2 – 7p + 6 > 0
( p – 6 ) ( p – 1 ) > 0
p < 1 atau p > 6
p < 3/2 atau p > 2 dan p < 1 atau p > 6
p < 1 atau p > 6
(SIMAK UI 2009 SAINTEK)
16. Akar-akar dari persamaan px2 – (2p + 1)x + 2 = 0 adalah m dan n. Jika mn = 1 maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan m dan n adalah ....
Pembahasan
x2 + (m+n)x + mn = 0
px2 – (2p + 1)x + 2 = 0
mn = c/a = 2/p = 1
p = 2
Persamaan dari kebalikan m dan n
x2 + (1/m2 + 1/n2)x + 1/(m2n2) = 0
1/m2 + 1/n2 = m2+n2/(m2n2)
m2+n2 = (m+n)2 – 2mn = 25/4 – 2 = 17/4
x2 + (17/4)x + 1/(1) = 0
(SIMAK UI 2009 SAINTEK)
17. Diketahui sistem persamaan berikut:
52x+y+z = 125
73x-y+2z = 1/7
2x+2y-z = 64
Jawaban yang sesuai adalah ....
(1) y - z = 3y−z=3
(2) x = 1x=1
(3) 2x + y = 3y + 2z2x+y=3y+2z
(4) x + y + z = 2x+y+z=2
Pembahasan
52x+y+z = 53
73x-y+2z = 7-1
2x+2y-z = 26
2x + y + z = 3
3x – y + 2z = -1
x + 2y – z = 6
(SIMAK UI 2009 SAINTEK)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.