Cari Blog Ini

16 Soal SIMAK UI MATEMATIKA IPA ALJABAR





SIMAK UI adalah ujian yang diselenggarakan oleh Universitas Indonesia, bagi semua orang lulusan SMA di Indonesia yang ingin menempuh pendidikan di sana.

Mari kita simak soal dan pembahasannya.

Nomor 1 -17


1.     Jika 3x + 5y = 18 . nilai maksimum 3x . 5y adalah ...
Pembahasan
3x + 5y = 18
p + q = 18
pq = p(18-p)
pq = 18p – p2
pq’ = 0
18 – 2p = 0
p = 9
q = 9
pq = 81
(SIMAK UI 2018 SAINTEK)


2.     Jika a + b – c = 2 , a2 + b2 – 4c2 = 2  dan  ab = 3/2 c2 , nilai c adalah ...
Pembahasan
a + b – c = 2
a + b = 2 + c
( a + b ) 2 = ( 2 + c ) 2
a2 + b2 + 2ab = 4 + 4c + c2
a2 + b2 + 2 ( 3/2 c2 ) = 4 + 4c + c2
a2 + b2  =  4 + 4c – 2 c2

a2 + b2 – 4c2 = 2 
a2 + b2 = 4c2 + 2

4 + 4c – 2 c2  =  4c2 + 2
6 c2 – 4c – 2 = 0
3 c2 – 2c – 1 = 0
( 3c + 1  )( c – 1 ) = 0
c = – 1/3  atau  c = 1
(SIMAK UI 2018 SAINTEK)


3.     Diketahui 2x – 2y2 = a – 1 , 2x + ay = 1 memiliki tepat 2 solusi ( x, y ). Jika a adalah bilangan bulat dengan -2017 < a < 2017 maka banyaknya nilai a yang memenuhi adalah ....
Pembahasan
2x – 2y2 = a – 1 dan 2x + ay = 1 memiliki 2 solusi
2x + ay = 1
2x =  1 – ay
2x – 2y2 = a – 1
1 – ay – 2y2 = a – 1
2y2 + ay + a – 2 = 0
D > 0
a 2 – 4 . 2 . ( a – 2 ) > 0
a 2 – 8 a + 16 > 0
( a – 4 ) 2 > 0
Supaya D > 0 , a ≠ 4
banyak bilangan bulat yang memenuhi di antara -2017 < a < 2017
-2016, -2015, ... 0, ... , 2016
Un  = a ( n – 1 ) b
2016 = – 2016 ( n – 1 ) 1
n – 1  = 4032
(SIMAK UI 2017 SAINTEK)


4.     21x2 – 21px + 49p – 7 = 0, memiliki akar u dan v tidak bulat dengan u, v ≥ 1 maka u+v adalah ...
Pembahasan
21x2 – 21px + 49p – 7 = 0      3x2 – 3px + 7p – 1 = 0
Persamaan kuadrat memiliki dua akar memiliki deskriminan > 0.
D > 0
b2 – 4ac > 0
32 p2 – 4 . 3 . (7p-1) > 0
3(3p2 – 28p + 4) > 0
Rumus abc
p1,2 = (14 ± 2√46) / 3
p1 < 0,145 atau p2 > 9,188
Rumus penjumlahan akar –b/a
u + v   = – (– 3p)/3     = p
u≥1
p≥1
u + v ≥ 2
u + v = p
u + v ≥ 9,198
(SIMAK UI 2017 SAINTEK)


5.     Misalkan u dan v adalah akar dari Bx2 – Bpx + 8p + 2 = 0 dengan B≠0 dan (Bu–8)(Bv–8) = –B2 – 14B, maka B = ...
Pembahasan
Bx2 – Bpx + Bp + 2 = 0
Rumus penjumlahan akar  = –b/a   dan perkalian akar  = c/a
u+v = – (– Bp) /B = p
u.v = (8p + 2)/B
(Bu–8)(Bv–8) = –B2 – 14B
B2u.v – 8Bu – 8Bv + 64 =  –B2 – 14B
B2[(8p + 2)/B] – 8B(u + v) + 64 =   –B2 – 14B
B(8p + 2) – 8Bp + 64 =   –B2 – 14B
B2 + 16B + 64 = 0
(B + 8)2 = 0
B = -8
(SIMAK UI 2016 SAINTEK)


6.     Jika  x, y, z  bilangan bulat yang memenuhi 16x – 20 y + 24 z = 4A dan x + z = 5 + y , dengan y – 2z < 0  dan  2x > y. Bilangan asli A yang memenuhi sistem tersebut adalah ....
Pembahasan
y  2z < 0  ,  y  2x < 0
16x – 20 y + 24 z = 4A
4x – 5 y + 6 z = A
x + z = 5 + y
x – y + z = 5

4x – 5 y + 6 z = A
6x – 6y + 6z = 5 . 6
– 2x + y = A – 30 , y  2x < 0
A – 30 < 0
A < 30

4x – 5 y + 6 z = A
4x – 4y + 4z = 5 . 4
y – 2 z = 20 – A , y  2z < 0
20 – A  < 0
A > 20
20 < A < 30
(SIMAK UI 2016 SAINTEK)


7.     Banyak persamaan bilangan bulat  ( x , y )  yang memenuhi sistem persamaan :
x + y – 1 = x2 + xy + y2
x + y – 1 = xy + 1
adalah ...
Pembahasan
x2 + xy + y2 = xy + 1
x2 + y2 = 1
( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( -1 , 0 ) ( 0 , -1 )
(SIMAK UI 2015 SAINTEK)


8.     Jika m adalah jumlah semua bilangan asli k yang mungkin sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat  f(x) = kx2 – x – 4  dan  g(x) = x2 - kx – 4 – k2  tepat bersinggungan di satu titik, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat  3mx2  – (m+1) x – 5 = 0 adalah ....
Pembahasan
f(x) = kx2 – x – 4  dan  g(x) = x2 - kx – 4 – k2
bersinggungan di satu titik :
kx2 – x – 4  =  x2 - kx – 4 – k2
(k - 1) x2 + (k – 1)x + k2 = 0
D = 0
b2 – 4ac = 0
(k-1)2 – 4 . (k-1) k2 = 0
(k-1)(k-1 – 4k2) = 0
k = 1

3mx2  – (m+1) x – 5 = 0
3x2 – 2x – 5 = 0
rumus jumlah akar adalah –b/a  dan perkalian akar-akar adalah  c/a
x12  +  x22  =  (x1 + x2)2 – 2x1 x2
x12  +  x22  =  (2/3)2 – 2(-5/3)
x12  +  x22  =  4/9 + 10/3
x12  +  x22  = 34/9
(SIMAK UI 2015 SAINTEK)


9. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :
x2 – xy + 3y2 + 2x – 5y + 4 = 0
x + 2y = 4
maka x2 – y2 = ...
Pembahasan
x = 4 – 2y
x2 – xy + 3y2 + 2x – 5y + 4 = 0
x( x – y + 2 ) + 3y2 – 5y + 4 = 0
( 4 – 2y )( 4 – 2y – y + 2 ) + 3y2 – 5y + 4 = 0
9y2 – 29y + 20 = 0
( 9y – 20 )( y – 1 ) = 0
y = 20/9 atau y = 1
x , y bilangan bulat
y = 1, x = 2
x2 – y2 = 3
(SIMAK UI 2012 SAINTEK)


10.     Persamaan kuadrat  x2 – pqx + p2 + q2 = 0  dengan akar-akarnya x1 dan x2  dengan 2x1 x2  = 5 (x1 + x2 ). Pernyataan berikut yang benar untuk hubungan p dan q adalah ...
(1) p = q
(2) p = 2q
(3) p = q + 2
(4) 2p = q
Pembahasan
2x1 x2  = 5 (x1 + x2 )
p2 + q2 = 5(pq)
(1)    p = q  p ≠ q
(2)    p = 2q
p = 2q
2 { (2q)2  + q2  }  = 10q2
10q2 = 10q2
(3)  p = q + 2  p ≠  q + 2
(4)  2p = q
(SIMAK UI 2012 SAINTEK)


11.  Jika sistem persamaan
ax + 2y = b + 1
x + y = 3
dan
2x + y = a2 + 2
x + 3y = 3
mempunyai solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan (a,b) adalah ...
Pembahasan
x + y = 3
x + 3y = 3
x + y = x + 3y
y = 0, x = 3

2x + y = a2 + 2
2.3 + 0 = a2 + 2
a2 = 4
a = ± 2

ax + 2y = b + 1
a.3 + 2.0 = b + 1
3a = b + 1
a = ± 2
a = 2 , b = –7
a = – 2 , b = 5
( –2 , –7 ) dan ( 2 , 5 )
(SIMAK UI 2011 SAINTEK)


12.  Misalkan salah satu akar dari persamaan (k – 5)x2 – 2kx + k – 4 = 0 bernilai lebih dari 2 dan salah satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan k yang memenuhi adalah ....
{k  R | 5 < k < 24}
(B) {k  R | 5 < k < 20}
(C) {k  R | 15 < k < 24}
(D) {k  R | k > 5}
(E) {k  R | k > 24}
Pembahasan
(k – 5)x2 – 2kx + k – 4
(x – a ) ( x – b ) = 0
a > 2 , b < 1
a – b > 1
√D / a > 1
√D > a
D > a2
b2 – 4 ac > a2
(-2k)2 – 4 (k-5) (k-4) > (k-5)2
4k2 – 4 (k2 – 9k + 20 ) > (k2 – 10k + 25)
k2 – 46 k + 105 < 0
k1 + k2  =  46
k1 k2  =  105
{k  R | 5 < k < 24}
(SIMAK UI 2011 SAINTEK)


13.  Untuk a < 0, jumlah akar-akar persamaan x2 – 2a|x – a|– 3a2 = 0 adalah ...
Pembahasan
x2 – 2a|x – a|– 3a2 = 0
untuk|x – a| > 0 ≡ x > a
x2 – 2a( x – a ) – 3a2 = 0
x2 – 2ax – a2 = 0
( x – a )2 – 2a2 = 0
x – a = ± a√2
x1,2 = a ± a√2
x1 > a
a + a√2 > a
a√2 > 0       (a < 0) tidak memenuhi
x2 > a
a – a√2 > a
– a√2 > 0    ( a < 0 ) memenuhi

x2 – 2a|x – a|– 3a2 = 0
untuk |x – a| < 0 ≡ x < a
x2 – 2a(– ( x – a ) ) – 3a2 = 0
x2 + 2ax – 5a2 = 0
( x + a )2 – 6a2 = 0
x + a = ± a√6
x3,4 = – a ± a√6
x3 < a
– a + a√6 < a
– 2a + a√6 < 0   ( a < 0 ) memenuhi
x4 < a
– a – a√6 < a
– 2a – a√6 < 0    ( a < 0 ) tidak memenuhi
jumlah akar-akar adalah  x2 + x3 = a – a√2 + – a + a√6  =  – a√2 + a√6
(SIMAK UI 2010 SAINTEK)


14.  Jumlah nilai-nilai x yang memenuhi sistem persamaan berikut:
(x – 2)(y -1) = 3
(x +2)(2y-5) = 15
adalah ....
Pembahasan
(x – 2)(y -1) = 3
xy – 2y – x + 2 = 3
y(x-2) = 1 + x
y = (1+x)/(x-2)

(x +2)(2y-5) = 15
2xy + 4y – 5x – 10 = 15
2x(1+x)/(x-2) + 4(1+x)/(x-2) = 5x + 25
2x + 2x2 + 4 + 4x = (x-2)(5x + 25)
2x2 + 6x + 4 = 5x2 + 15x – 50
3x2 + 9x – 54 = 0
x1 + x2 = -b/a = -9/3 = -3
(SIMAK UI 2010 SAINTEK)


15.  Diketahui persamaan kuadrat x2 + 2px – p2 + 7p – 6 = 0. Nilai p agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah ...
Pembahasan
Persamaan kuadrat memiliki dua akar harus memiliki dekriminan > 0.
x2 + 2px – p2 + 7p – 6 = 0
D > 0
b2 – 4ac > 0
22p2 – 4 . 1 . (– p2 + 7p – 6) > 0
p2 + p2 – 7p + 6 > 0
2p2 – 7p + 6 > 0
( 2p – 3 )( p – 2 ) > 0
p < 3/2  atau  p > 2
 
Akar-akar persamaan berlawanan tanda x1 . x2 < 0
x2 + 2px – p2 + 7p – 6 = 0
rumus perkalian akar-akar adalah  c/a
– p2  + 7p – 6 < 0
p2  – 7p + 6 > 0
( p – 6 ) ( p – 1 ) > 0
p < 1  atau  p > 6

p < 3/2  atau  p > 2  dan  p < 1  atau  p > 6
p < 1  atau  p > 6
(SIMAK UI 2009 SAINTEK)


16. Akar-akar dari persamaan px2 – (2p + 1)x + 2 = 0 adalah m dan n. Jika mn = 1 maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan m dan n adalah ....
Pembahasan
x2 + (m+n)x + mn = 0
px2 – (2p + 1)x + 2 = 0
mn = c/a = 2/p = 1
p = 2
Persamaan dari kebalikan m dan n
x2 + (1/m2 + 1/n2)x + 1/(m2n2) = 0
1/m2 + 1/n2 = m2+n2/(m2n2)
m2+n2 = (m+n)2 – 2mn = 25/4 – 2 = 17/4
x2 + (17/4)x + 1/(1) = 0
(SIMAK UI 2009 SAINTEK)


17. Diketahui sistem persamaan berikut:
52x+y+z = 125
73x-y+2z = 1/7
2x+2y-z = 64
Jawaban yang sesuai adalah ....
(1) y - z = 3yz=3
(2) x = 1x=1
(3) 2x + y = 3y + 2z2x+y=3y+2z
(4) x + y + z = 2x+y+z=2
Pembahasan
52x+y+z = 53
73x-y+2z = 7-1
2x+2y-z = 26
2x + y + z = 3
3x – y + 2z = -1
x + 2y – z = 6
(SIMAK UI 2009 SAINTEK)




Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.