Teori Lengkap dan Soal Limit pada Matematika SMA

Mencari nilai limit mendekati x maksudnya mencari berapa nilai fungsi saat mendekati x.

Suatu limit memiliki nilai jika limit kiri dan limit kanannya bernilai sama.
lim kiri = limit mendekati nilai x dari kiri
lim kanan = limit mendekati nilai x dari kanan
lim kiri------> x <------lim kanan

Limit dapat dibagi menjadi beberapa divisi (berdasar yang saya ketahui) :

Aturan-aturan Limit
Limit Fungsi Aljabar
Limit Mutlak

Menentukan Kekontinuan Suatu Fungsi dengan Limit

Limit Menuju Tak Hingga
Aplikasi Limit Pada Turunan Fungsi

Aturan-aturan Limit

1. lim ( f(x) + g(x) ) <=> lim f(x) + lim g(x)

2. lim ( f(x) - g(x) ) <=> lim f(x) - lim g(x)

3. lim ( f(x).g(x) ) <=> lim f(x) . lim g(x)

4. lim (f(x) / g(x) ) <=> lim f(x) / lim g(x)

5. lim (k . f(x) ) <=> k . lim f(x)

6. lim ( f(x)ⁿ ) <=> (lim f(x) )ⁿ

7. lim √f(x) <=>  √ lim f(x)  untuk lim f(x) ≥ 0

Limit Fungsi Aljabar

nilai limit suatu fungsi dapat ditentukan dengan beberapa cara :
1) Substitusi
2) Faktorisasi lalu substitusi
3) Perkalian dengan sekawan (biasanya fungsi akar)

Pembahasan Soal :

1. Carilah $$ \lim_{x\to 2} f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

Jawab

Limit Mutlak

Pembahasan Soal :

1. Carilah $$ \lim_{x\to 0}$$ $$f(x) = \frac{x}{|x|} $$

Jawab



2. Carilah limit x-> 2    |x^2 - 1| !

Jawab

Menentukan Kekontinuan Suatu Fungsi dengan Limit

suatu f (x) kontinu pada x = c jika :

1) f (c) ada

2) lim x->c f (x) ada

3) f (c) = lim x->c f (x)

bisa dengan menggambar grafik f(x) dan dilihat apakah fungsi menyambung atau tidak

Pembahasan Soal :

1. f(x) = x + 1    ;   x  ≠ 2

    f(x) = 6          ;   x  = 2

    apakah f(x) kontinu di x = 2 ?

    Jawab

    f (x) = x + 1  ;  x ≠ 2  --> untuk x ≠ 2 f(x) = x + 1

    f (x) = 6        ;  x = 2  --> untuk x = 2 f(x) = 6

   1) f (x) = 6

       f (2) = 6 --> f (c) ada

   2) lim x-> 2 f (x)

        lim x->c f(x)  =  ada

    3) f (c) ≠ lim x->c f (x)

        syarat 3 tidak terpenuhi

      

Kesimpulan : f(x) tidak kontinu saat x = 2

2. f (x) = x + 3      ;   x ≤ 2   ---> untuk x ≤ 2, f (x) = x + 3

    f (x) = x^2 - 4   ;   x > 2    ----> untuk x > 2, f (x) = x^2 - 4

    tentukan kekontinuan di   a) x = 2      b) x = 0

    Jawab

    a) x = 2

        1)   f (x) = x + 3

              f (2) = 2 + 3 = 5 --> f (c) = ada

 

        2)  lim x->c   f (x)

syarat 2 tidak terpenuhi
Kesimpulan : f(x) tidak kontinu saat x = 2


   b) x = 0
       1) f (x) = x + 3
           f (0) = 3 ---> f (c) ada

       2) lim x->c f (x)   


       3) f (c) = lim x->c f (x)

Kesimpulan : f(x) kontinu saat x = 0

Limit Tak Hingga

lim x-->∞ 1/x = 0
lim x-->∞  k / xⁿ = 0  (untuk n>1, k anggota bilangan real)
lim x--->∞ kxⁿ = ∞  (untuk n>1, k anggota bilangan real)
k.∞ = ∞
k - ∞ = -∞
∞ - k = ∞
k/∞ = 0
∞ⁿ = ∞

cara menentukan limit fungsi di tak hingga

1) Jika lim x-->∞  f(x)/g(x) berbentuk ∞ / ∞
    bagi pembilang dan penyebut dengan variable pangkat tertinggi

2) Jika lim x-->∞   (f(x) - g(x) ) berbentuk ∞ - ∞
    kalikan f(x) - g(x) dengan sekawannya yaitu (f(x) + g(x))

Pembahasan Contoh Soal :

1. tentukan lim x-->∞  (2x^2 - x) / x 
    Jawab

2. tentukan lim x-->∞    x^3 - 4x + 7 / 3 - 6x^2- 2x^3    Jawab