Soal SIMAK UI 2010 - Matematika IPA - Kode Soal 607

1. Untuk a < 0, jumlah akar-akar persamaan $x^{2} – 2a |x – a| – 3a^{2} = 0$  adalah ....

$$
a\begin{pmatrix}\sqrt{2}\,–\,\sqrt{3}\end{pmatrix}

B. $$
a\begin{pmatrix}\sqrt{6}\,–\,\sqrt{2}\end{pmatrix}

C. $$
2a\begin{pmatrix}\sqrt{2}\,–\,\sqrt{6}\end{pmatrix}

D. $$
2a\begin{pmatrix}\sqrt{6}\,–\,\sqrt{2}\end{pmatrix}

E. 0Pembahasan

untuk a<0  

|x-a| < 0

 $x^{2} – 2a |x – a| – 3a^{2} = 0$  -->    x^2 - 2a (-1)(x-a) - 3a^2 = 0

x^2 + 2ax - 5a^2 = 0

(x+a)^2 - 6a^2 = 0

x =  -a +-   \/6  a

untuk a<0 dan |x-a| < 0, maka x = -a + \/6  a

untuk a<0 dan |x-a| > 0

 $x^{2} – 2a |x – a| – 3a^{2} = 0$ --> x^2 - 2a(x-a) - 3a^2 = 0

x^2 - 2ax - a^2 = 0

(x-a)^2 - 2a^2 = 0

(x-a) = \/2 a

x = a +-   \/2  a

untuk a<0 dan |x-a| > 0 , maka x = a - \/2  a

x1 + x2 = a(\/6 - \/2)

2. Diketahui  $P$($x$) = $ax^{5}$ + $bx$ – 1,  dengan a dan b konstan. Jika P(x) dibagi dengan ($x$ – 2010) bersisa 6. Jika P(x) dibagi dengan  ($x$ – 2010) akan bersisa ....

A. -8
B. -2
C. -1
D. 1
E. 8

Pembahasan

p(x):(x-2010) sisa 6

p(2010) = 6 = p (k) = ak^5 + bk - 1

p(-2010) = p(-k) = -ak^5 - bk - 1 =-(ak^5 + bk) - 1 = -8





3. Jika diketahui $\begin{aligned}\lim_{x→0}\frac{ax\,\mathrm{sin}\,x+b}{\mathrm{cos}\,x-1}=\,1\end{aligned}$, maka nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi adalah ....

A. 

$$
a = -$\begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned}$, $b$ = 0

B. $$
a = 1, $b$ = 1

C. $a$ =$\begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned}$, $b$ = 0

D. $$
a = 1, $b$ = -1

E. $$
a = 1, $b$ = 0

Pembahasan

aturan limit

jika   lim x - 0 f(x)/g(x) ada nilai nya

dan hasil limit penyebut = 0, maka hasil limit pembilang juga 0 , sehingga 0/0 dan dicari hasilnya dengan limit biasa dan ketemu nilainya

$\lim x-0 cosx - 1 = 0$

maka $\lim x-0 ax.sinx + b = 0$

$b = 0$

$\cos x - 1 = -2\sin ^2 1/2x$

(\lim x-0 ax \sin x)/(-2 \sin ^2 1/2 x = 1)

1 = a.1.1/(-2. (0,5.0,5)) = a = -1/2

4. Jika berdasarkan fungsi kuadrat y = f(x) diketahui bahwa y = f(x + a) mencapai nilai maksimum pada x = k, maka y = f(x – a) mencapai nilai maksimum pada x = ....


A. 2a + 2k
B. 2a + k ✔
C. 2a – k
D. a + k
E. a – k
Pembahasan

grafik y = x^2 bergeser kekanan ketika y=(x-2)^2

dik : digeser ke kiri sejauh a memiliki nilai y = k

digeser ke kanan sejauh a maka memiliki nilai y = k + 2a

5. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH = 5 cm. P dan Q masing-masing adalah titik tengah AB dan BC. Luas irisan bidang yang melalui P, Q, dan H sama dengan ....

A. 125/3

B. 125/9

C. 125/12

D. 175/12

E. 175/24

tidak ada jawaban

6. Diketahui vektor-vektor $\overrightarrow{a}$ = (2, 2, $z$), $\overrightarrow{b}$ = (-8, $y$, -5), $\overrightarrow{c}$ = ($x$, 4$y$, 4), dan $\overrightarrow{d}$ = (2$x$, 22$z$, 8). Jika vektor $\overrightarrow{a}$ tegak Lurus dengan vektor $\overrightarrow{b}$ dan vektor $\overrightarrow{c}$ sejajar dengan $\overrightarrow{d}$ maka ($y$ + $z$) = ....

A. -5

B. -1

C. 1 ✔

D. 2

E. 5

Pembahasan 

vek a tegak lurus vek b

a.b = |a||b|cos90

-16 + 2y - 5z = 0

d = kc

(2x,22z,8) = k (x,4y,4)

k = 2

22z = 8y

y = 3

z = -2

7. Jika $\begin{aligned}\int_{1}^{4} f(x)dx \end{aligned}$ = 6, maka $\begin{aligned}\int_{1}^{4} f(5 - x)dx  \end{aligned}$ = ....

A.  6 ✔

B. 3

C. 0

D. -1

E. -6

Pembahasan

$\int f(5-x)dx = -\int ^1_4   f(5-x)d(5-x) = \int ^4  _1    fx dx = 6$

8. Jumlah nilai-nilai 

$x$ yang memenuhi sistem persamaan berikut:

($x$ - 2)($y$ - 1) = 3

($x$ + 2)(2$y$ - 5) = 15

adalah ....

A. -4

B. -3 ✔

C. 4

D. 3

E. 5

Pembahasan

xy - 2y -x + 2 = 3

y(x-2) = x +1

2xy + 4y - 5x  - 10 = 15

2x(x+1)/(x-2) + 4(x+1)/(x-2) - 5x = 25

3x^2 + 9x - 54 = 0

x1+x2 = -b/a = -3

9. Jika 

$\dfrac{\pi}{2} ≤ x ≤ \dfrac{3\pi}{2}$ memenuhi persamaan $\dfrac{1 - 4\mathrm{cos} x}{2\mathrm{sin} x} + \dfrac{2\mathrm{sin} x}{1 - \mathrm{cos} x} = 7$, maka nilai cos $x$ = ...

B. 

  $-\dfrac{\sqrt{171}}{14}$

Pembahasan

(1 - 5cosx + 4cos^2x + 4sin^2x) / ( 2sinx(1-cosx) ) = 7

5 - 5cosx = 14 sinx (1-cosx)

cos x = 1 atau sin x = 15/4

$\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\} \le \; x \le \; \backslash dfrac\{3\backslash pi\}\{2\}$

kuadran 2 dan 3

nilai cos x = negative, sinx positif di kuadran 2

maka kemungkinan sin x = 15/4 terpenuhi

$sin x = 15/4 --> cosx = \sqrt(171)/4$

10. Jika nilai maksimum dari$\begin{aligned}\frac{m}{15\,\mathrm{sin}\,x-8\,\mathrm{cos}\,x+25}\end{aligned}$adalah 2, maka nilai $m$ adalah ....

A. 4

B. 16 ✔

C. 36

D. 64

E. 84

Pembahasan

nilai maksimum/min dari Asinx + Bcos x = +- \/( A^2 + B^2)

nilai min dari pembagi = -\/ (15^2 + 8^2)    +  25 = 8

m/8 = 2

m = 16

11. Jika

$\begin{aligned} f(x) = \mathrm{sin}\,x+\frac{1}{2}\mathrm{cos}\,2x+1,\,-\pi\,<\,x\,\pi\end{aligned}$, maka pernyataan berikut yang benar adalah ...

(1) nilai maksimum adalah $\begin{aligned}\frac{7}{4}\end{aligned}$

(2) nilai minimum adalah $-\begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned}$

(3) nilai maksimum dicapai pada $x$ =$\begin{aligned}\frac{\pi}{6}\end{aligned}$ dan $x$ =$\begin{aligned}\frac{5\pi}{6}\end{aligned}$

(4) nilai minimum adalah$\begin{aligned}-\frac{7}{4}\end{aligned}$

Pembahasan

$-sin^2x + sinx + 3/2 = f(x)$

nilai maks = -b/2a = 1/2

ketika sin x = 1/2

f(x) = 7/4 = maks

nilai min ketika sin x = -1 karena -1<sinx < 1

f(x) = -1/2