Toerema Limit pada Matematika

Pengertian

$ \lim_{x \to a} f(x) = L  $      adalah nilai f(x) dapat dibuat dekat ke L jika x dekat ke-a

Pada penyelesaian soal limit, hasil yang harus dihindari adalah 

$\ \frac {0}{0} ; \ \frac { \infty}{\infty}; \ \infty - \infty; \ 0^0 ; \ \infty^0; \ 1^\infty$

A. Teorema Limit

a. Jika f(x) = c, maka $ \lim_{x \to a} f(x) = c $

b.  $ \lim_{x \to a} f(x) \pm g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $ 

c.  $ \lim_{x \to a} f(x) . g(x) = \lim_{x \to a} f(x) . \lim_{x \to a} g(x) $ 

d.   $\lim_{x \to a} c . f(x) = c . \lim_{x \to a} f(x)$

e.  $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {\lim_{x \to a} f(x)} { \lim_{x \to a} g(x)} $ 

f.  $ \lim_{x \to a} f(x)^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n  $ 

B. Limit Fungsi Trigonometri

1.  $\lim_{x \to a} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $

2.  $\lim_{x \to a} \frac{\cos ax}{bx} = \frac{a}{b} $

3.  $\lim_{x \to a} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b} $

4.  $\lim_{x \to a} \frac{ \sin p(x - a)}{q(x - a)} =  $ $\lim_{x \to a} \frac{p(x - a)}{\sin q(x - a)} =  \frac{p}{q} $

5.  $\lim_{x \to a} \frac{ \cos p(x - a)}{q(x - a)} =  $ $\lim_{x \to a} \frac{p(x - a)}{\cos q(x - a)} =  \frac{p}{q} $

6.  $\lim_{x \to a} \frac{ \tan p(x - a)}{q(x - a)} =  $ $\lim_{x \to a} \frac{p(x - a)}{\tan q(x - a)} =  \frac{p}{q} $

C. Limit Tak Hingga

1. $ \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n} = 0 $

2. $ \lim_{n \to \infty} \ \sqrt[n]{p} = 1 ; p > 0$

3. $ \lim_{n \to \infty}\ p^n = \infty ; | p | > 1 $

4. $ \lim_{n \to \infty} \ p^n = 0 ; | p | < 1 $

5. $ \lim_{n \to \infty} \ \frac{(1 + x)^n - 1}{x} = n $

6. $ \lim_{n \to \infty} \ \frac{ax^p \ \ pm \ bx^{p-n} \ \pm ... \ \pm c }{dx^q \ \pm \ ex^{q-n} \ \pm ... \ \pm f} = \frac{a}{d} \ ; \ p = q $

7. $ \lim_{n \to \infty} \ \frac{ax^p \ \ pm \ bx^{p-n} \ \pm ... \ \pm c }{dx^q \ \pm \ ex^{q-n} \ \pm ... \ \pm f} = \infty \ ; \ p > q $

8. $ \lim_{n \to \infty} \ \frac{ax^p \ \ pm \ bx^{p-n} \ \pm ... \ \pm c }{dx^q \ \pm \ ex^{q-n} \ \pm ... \ \pm f} = 0 \ ; \ p < q $

D. Limit Aljabar

1. $ \lim_{n \to 0} \ \frac{x^m - 1}{px - 1} = m$

2. $ \lim_{n \to 0} \ \frac{arc \sin x}{x} = 1$

3. $ \lim_{n \to 0} \ \frac{arc \tan x}{x} = 1$

4. $ \lim_{n \to \infty} \ ( 1 + \frac{1}{x} )^{x} = e $

5. $ \lim_{n \to 0} \ ( 1 + x )^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{e} $

6. $ \lim_{n \to 0} \ \frac{ln (1 + x)}{x} = 1 $

7. $ \lim_{n \to 0} \ \frac{log_a (1 + x)}{x}= \frac{1}{ln a} $

8. $ \lim_{n \to 0} \ {a^x - 1}{x} = 1 $

E. Dalil L' Hospital

$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f('x)}{g'(x)} =  \lim_{x \to a} \frac{f''(x)}{g''(x)} $

Syarat Kontinuitas pada x = a

1. f(a) harus ada nilainya

2. $ \lim_{x \to a} f(x)   $      mempunyai solusi

3. $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $