Sifat Unik Matriks dan Determinan pada Matematika SMA

Sekarang saya ingin membahas keunikan determinan  matriks

Sifat 1

bila salah satu baris, atau kolom dikali bilangan n, determinannya menjadi n kali determinan awal.

misal ada matriks  A =  2  1  0
                                           0  1   2
                                           2  2   1   



determinannya adalah -2

Bila baris pertama kita kali 2  menjadi  A'  = 4  2  0
                                                                                 0  1  2
                                                                                 2  2  1
maka determinannya menjadi 2 kali determinan awal  = -4

Begitu juga bila baris ke dua yang dikali 2, determinannya menjadi 2 kali determinan awal.
Bila baris 3 yang dikali 2, determinannya menjadi 2 kali determinan awal.
Kalau salah satu kolom yang dikali 2, determinannya menjadi 2 kali determinan awal.

Sifat 2
cara mencari determinan pada matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks diagonal, matriks scalar, yaitu hanya dengan mengalikan elemen diagonal utamanya.

contoh matriks diagonal :

5  0  0
0 -1  0
0  0 12    determinannya = 5 x (-1) x 12 = -60


contoh matriks segitiga atas :

5  10   -2
0   -1   3
0   0    12   determinannya = 5 x (-1) x 12 = -60


contoh matriks segitiga bawah :

5     0    0
3    -1    0
10  -2   12   determinannya = 5 x (-1) x 12 = -60


contoh matriks scalar :

5   0  0
0   5  0
0   0  5  determinannya = 5 x 5 x 5 = 125

Sifat 3

Jika menukar suatu baris dengan baris lain pada matriks sebanyak n kali, nilai determinannya berubah menjadi determinan sebelum baris ditukar dikali -1 sebanyak n kali.

contoh : A = 0   1   3   5

                     2   1   1   6

                     0   0   2   5

                     0   0   0   6

|A| = ?

Jawab

kita bisa tukar baris 1 dengan baris 2 supaya menjadi matriks segitiga atas

              A' =  2   1   1  6

                       0   1   3  5

                       0   0   2  5

                       0   0   0  6

sekarang determinan A' adalah perkalian diagonal (sifat 2)

|A'| = 2 x 1 x 2 x 6 = 24

karena ditukar sekali barisnya nilai |A| adalah |A'| dikali -1 sebanyak 1 kali

|A| = -1 x |A'|

|A| = -24

atau misalkan  A  =  2  1   1   6

                                 0   1   3  5

                                 0   0   2  5

                                 0   0   0  6

lalu kita tukar baris 1 dengan baris 2 menjadi   A' = 0   1   3   5

                                                                                   2   1   1   6

                                                                                   0   0   2   5

                                                                                   0   0   0   6

maka |A'| = -1 x |A|

|A'| = -24

Sifat-sifat lain :
|A| = 0 maka A   ^-1 tidak terdefinisi/tidak ada
A . B ≠ B .  A
A   ^-1 . A          =  A . A   ^-1 = I                     
A   ^-1 . A . A    =  A                                                   
A   ^-1. A . A   ^-1   =  A   ^-1
(A.B) ^-1        =  B   ^-1 . A   ^-1
B   ^-1. A   ^-1 ≠ A  ^-1B   ^-1
( (A.B)^T )   ^-1 = ((A . B) ^-1)^T = (B   ^-1. A   ^-1)^T = (A  ^-1)^T . (B   ^-1)^T