15 Soal SIMAK UI 2019 Matematika Dasar dan Pembahasan

1. Jika $5^{10x}=4900$ dan $2^{\sqrt{y}}=25$, nilai $\dfrac{\left(5^{x-1}\right)^5}{4^{(-\sqrt{y})}}$ adalah ....

Pembahasan

 $\dfrac{\left(5^{x-1}\right)^5}{4^{(-\sqrt{y})}}$ adalah $\frac{5^{5x} 5^{-5}}{2^{-2y}} = \frac{5^{5x} 2^{2y}}{5^{5}}$

$5^{10x} = 4900, 5^{5x} = 70, 2^y = 25, 2^{-2y} = \frac{1}{25^2}$

2. Jika ${}^4\log (2a)^{\left(3+{}^2\log (2a)\right)}=5,$ hasil kali akar-akar persamaan tersebut adalah ....

Pembahasan 

$^4$log(2a)(3+2log(2a))= $(3+ ^2 \log (2a))(^4 \log (2a)) = (3^4 \log (2a) + ^2 \log (2a)^4 \log (2a)) = (3\frac 12 ^2\log (2a) + ^2 \log (2a) \frac 12 \ ^2\log (2a)) = (\frac{3}{2} x + \frac 12 x^2 )$

$(\frac{3}{2} x + \frac 12 x^2 ) = 5 --> x^2 + 3x  - 10 = 0 ---> (x+5)(x-2) = 0 ---> x = -5 $ U $x = 2$

$^2 \log (2a) = -5 $ U $^2 \log (2a) = 2$

$2a = \frac{1}{32}$ U $2a = 4$

3. Nilai $x+p$ yang memenuhi $x^2-px+20=0$ dan $x^2-20x+p=0$ adalah ....

Pembahasan

Kedua persamaan sama-sama nol, maka 

$x^2-px+20=$ $x^2-20x+p=0$

20x - px + 20 - p = 0

(x+1)(20-p) = 0

x = -1, jika x  = -1 p = -21 maka x + p = -22

p = 20, x = bukan bilangan bulat

 

4. Hasil penjumlahan dari $x, y,$ dan $z$ yang memenuhi $3^{2x+y-z}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^{(x-y+2z+2)},$$\log (x-y+z)=\dfrac{1}{1+{}^2\log 5},\operatorname{dan}\left|\begin{array}{cc}x & \dfrac{1}{2} \\ 2y & 2\end{array}\right|=2$ adalah ....

Pembahasan

$3^{2x+y-z} = 3^{-3(x-y+2z+2)}$

$2x+y-z = -3x + 3y -6z - 6$

$\log (x - y + z) = \frac{1}{^2 \log 2 + ^2 \log 5} = \frac{1}{^2 \log 10} = ^{10} \log 2$

$(x - y + z) = 2$

∣∣​x2y​21​2​∣∣​=2 --- >  2x - y = 2

5.  

Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat x yang memenui adalah ....

Pembahasan

$\frac{(x-3)(x+2) \sqrt{(x+3)(x-1)}}{-(x^2+2)\sqrt{(x+4)}} >= 0$

Ketika persamaan sama dengan nol, maka pembilang nol dan peyebut tidak nol

(x-3)(x+2) (x+3)(x-1) = 0 , x = -3, -2,1,3

(x^2+2)(x+4) bukan nol ---> x bukan -4

dan persamaan akar tidak boleh < 0

(x+3)(x-1) > 0 ---> x < -3 U x > 1

(x+4) > 0 ---> x > -4

Ketika persamaan lebih dari nol maka penyebut dan pembilang positif atau keduanya negatif.

Pada persamaan penyebut negatif, maka pembilang harus negatif.

(x-3)(x+2) \sqrt{(x+3)(x-1) < 0

(x-3)(x+2) < 0

-2 < x < 3

6. Diketahui 

$A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & x\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ x & x^{2}\end{array}\right), \operatorname{dan} C=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 3\end{array}\right) .$ Jika $\operatorname{det}\left(A^{-1} B C^{T}\right)=12$. nilai $x-3$ adalah ....

Pembahasan

det AB = det A . det B

det $AA^-1 = det A det A^-1$

det I = det A det A^-1

1 = det A det A^-1

det A^-1 = 1/det A

$$
\operatorname{det}\left(A^{-1} B C^{T}\right)=12

maka det A^-1 det B det C^T = 12 ---> (1/det A ) (det B) (det C^T) = 12 ---> 1/(x-3) (x^2 - 3x) (3) = 12

x = 4 , x-3 = 1

7. Diketahui 

$\Delta A B C$ sama sisi, $B C=2 C D,$ garis $D E F$ tegak lurus $A B,$ dan $A G$ sejajar $D F$, seperti tampak pada gambar. Jika luas $\Delta B D F$ adalah $\dfrac{81}{2}\sqrt{3}$, luas trapezium $A G D E$ adalah ....

Pembahasan

Luas trapesium $= \frac 12 (DE + AG)DG

Pada segitiga BDF

BD = 3CD, sudut ABC = 60 (segitiga sama sisi)

$\frac {BD}{\sin 90} = \frac{DF}{\sin 60}$

$DF = \frac 12 \sqrt 3 BD =  \frac 32 \sqrt 3 CD = AG$

Sudut FDB = 30

$\frac {BD}{\sin 90} = \frac{BF}{\sin 30}$

$BF = \frac {\frac 12 BD} = \frac 32 CD$

$AF = AB - BF = 2CD -  \frac 32 CD = DG$

Luas BDF $= \frac 12 \frac 32 CD \frac 32 \sqrt 3 CD = \frac{81}{2}\sqrt 3$

$CD = 6$

AG =$ 9\sqrt 3$ DG = 3 $

Pada segitiga CDE

sudut ECD = 120 (berpelurus dengan ACB)

sudut EDC = 30, sudut CED = 30

$\frac{DE}{\sin 120} = \frac{CD}{\sin 30}$

$DE = 6\sqrt3$

Luas trapesium $= \frac 12 (DE + AG)DG = \frac 12 (6\sqrt3 + 9\sqrt 3)3 = \frac{45\sqrt 3}{2}$

8. Jika 

$a^{2}-b c, b^{2}-a c, c^{2}-a b$ adalah barisan aritmetika dengan $a+c=12,$ nilai $a+b+c$ adalah ....

Pembahasan

$(b^2 - ac) - (a^2 - bc) = (c^2 - ab) - (b^2 - ac) $

$2(b^ - ac) = (c^2 - ab) + (a^2 - bc)$

$2(b^2 - ac) = (a^ + c^2) - b(a+c)$

$2(b^2 - ac) = (a + c)^2 - 2ac - b(a+c)$

$2b^2 = (a + c)^2 - b(a+c)$

$2b^2 = 144 - 12b$

$b^2 + 6b - 72 = 0$

$(b + 12)(b - 6) = 0$

b = -12 U b = 6

a + b + c = 12 - 12 U 12 + 6

9. Jika 

$\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+1=9, \frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1=1,$ dan $a+2 b+c=35$ untuk $a, b,$ dan $c$ bilangan bulat positif dengan $a>b>c$, nilai $a-b-c$ adalah ....

Pembahasan

b/a + b/c = 0 --> a = - c (padahal a,b,c = positif)

soal tidak jelas

10. Terdapat sepuluh orang pergi ke tempat wisata dengan mengendarai 3 mobil berkapasitas 4 orang dan tiga orang di antaranya adalah pemilik mobil. Jika setiap mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan setiap mobil minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga mobil tersebut adalah ....

Pembahasan

Cara nalar

10 untuk 3 mobil kapasitas 4

3 orang pemilik mobil, 7 orang penumpang untuk 3 mobil tadi, 1 mobil paling tidak 1 orang penumpang maka 

3 penumpang dari 7 penumpang pada 3 mobil berbeda, 7 C 3

sisa 4 orang untuk 3 mobil berbeda atau sama, maka

4 pada 3 mobil berbeda, 4C3 dan sisa 1 orang untuk 3 mobil 3C1

atau

4 pada 2 mobil dan 1 mobil tidak ditambah

4C2 x 3C2 (4 org dipilih 2 org dan 3 mobil dipilih 2 mobil)

jadi 7C3 x 4C3 x 3 C1 + 7C3 x 4C2 x 3C2

7 . 5  x 4 x 3 + 7 . 5 x 6 x 3  = 420 + 630 = 1050

Cara manual

mobil1  mobil2  mobil3

3             3           1   7C3  4C3  1C1 karena ada 3 macam dan angka 3 muncul 2 kali maka dikali lg 3C2

1            3            3    tdk usah diitung lg, sudah dikali 3C2

3            1            3    tdk usah diitung lg

2            2            3   7C2 5C2 3C3 karena ada 3 macam dan angka 2 muncul 2 kali maka dikali lg 3C2

3            2            2    tdk usah diitung lg, sudah dikali 3C2

2            3            2    tdk usah diitung lg

11. Diketahui 

$\left(f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1}\right)(x)=-x+2$ dan $(g\circ f)(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ untuk $x \neq 3 .$ Jika $h(a)=1,$ maka $2a-1=$ ....

Pembahasan

12. Dua kotak masing-masing memuat 

$10$ bola yang terdiri dari bola putih dan bola merah. Satu bola diambil dari setiap kotak. Jika peluang bahwa kedua bola yang terambil adalah berwarna putih sebesar $\dfrac{1}{5}$, peluang terpilihnya minimal satu bola di antaranya adalah bola putih adalah ....

Pembahasan

Kedua bola putih = 0,2 = p1/10.p2/10 --> p1.p2 = 20, 4 dan 5 atau 5 dan 4

ditanya p1m2/100 + m1.p2/100 + p1p2/100 ---> 4x5/100 + 5x6/100 + 0,2 = 7/10

atau 1 - peluang kedua merah

1 - m1m2/100 = 1 - 6.5/100 = 7/10

13.

Jika $f(x)=2 x^{2}-3 x+1, g(x)=a x+b,$ dan $(g \circ f)(x-1)=4 x^{2}-14 x+$ 11, maka ....

(1) $a=2$✔

(2) $b=-1$✔

(3) $(f \circ g)(1)=10$

(4) $\dfrac{f(x)}{g(x)}=x+1$

Pembahasan

f(x-1) = 2(x-1)^2 - 3(x-1) + 1 = 2x^2 - 7x + 6

(g∘f)(x−1) = g(f(x-1)) = a(2x^2 - 7x + 6) + b = 4x^2 - 14x + 11

14. Jika 

$f$ dan $g$ adalah fungsi yang dapat diturunkan di $\mathbb{R}$ sehingga $\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)(g(x)-g(x+h))}{\left(k^2-1\right)h}=\dfrac{x^2-1}{1+k}$ dan $\lim _{h\rightarrow 0}\frac{g(x)(r(x)-f(x+h))}{\left(k^2-1\right)h}=\frac{x^2-1}{1-k}$ maka ....

(1) $(f g)^{\prime}(0)=2$

(2) $(f g)^{\prime}(c)=2\left(c^{2}-1\right)$

(3) $(f g)^{\prime}(k)=2\left(1-k^{2}\right)$

(4) $(f g)^{\prime}(1)=0$

Pembahasan

prinsip turunan

$ \lim_{h -> 0} \frac{f(x) - f(x+h)}{h} = f'(x)$ , maka

$\frac{f(x)g'(x)}{(k^2-1)}=\frac{x^2-1}{1+k}$

$f(x)g'(x)=\frac{(k^2-1)(x^2-1)}{1+k} = (k-1)(x^2-1)$

$\frac{g(x)f'(x)}{(k^2-1)}=\frac{x^2-1}{1-k}$

$g(x)f'(x)=\frac{(x^2-1)(k^2-1)}{1-k} = -(x^2-1)(1+k)$

$(fg)' = f(x)'g(x) + f(x)g'(x) = -(x^2-1)(1+k) + (k-1)(x^2-1) = (x^2-1)(-2)$

$(fg)'(0) = 2$

$(fg)'(c) = 2(1-c^2)$

$(fg)'(k) = 2(1-k^2)$

$(fg)'(1) = 0$

15. Jika kuartil ketiga dari data berurutan 

$x-2,2 x-3,3 x-7,3 x-3,3 x+2,4 x-$ $2,5 x+2$ adalah $18,$ maka ....

(1) mediannya adalah 12   ✔

(2) rata-ratanya adalah 13    X

(3) jangkauan antarkuartilnya adalah 11    ✔

(4) jangkauannya adalah 23    X

Pembahasan

q1 = 2x - 3

q2 = 3x - 3

q3 = 4x - 2

q3 = 18

x = 5