Persamaan Lingkaran - Pembahasan Soal 2

1. Sebuah lingkaran dengan radius 2 cm berada di titik pusat. Sebuah garis 3x + 4y - 12 = 0 ada pada bidang. Berapa jarak terpendek dari sebuah titik di lingkaran ke titik di garis?

Jawab

Cara 1

jarak terpendek berarti garis yang ditarik dari titik pusat (0,0)

lingkaran akan tegak lurus dengan garis 3x + 4y - 12 = 0 di suatu titik misal (xm,ym) dan garis itu adalah Lm

Lm tegak lurus 3x + 4y - 12 = 0 di (xm,ym)

maka gradien Lm dikali gradien 3x + 4y - 12  = -1

gradien Lm = 4/3

garis Lm melalui (0,0) ber-gradien 4/3 :

y - y1 = m(x - x1)

y - 0 = 4/3(x - 0)

y = 4/3x

mencari titik potong Lm dan 3x + 4y - 12 = 0 (xm, ym) :

substitusi y = 4/3x ke 3x + 4y - 12 = 0

3x + 3x - 12 = 0

x = 36/25

y = 48/25

Lm memotong lingkaran di suatu titik misal (xn , yn)

persamaan lingkaran = $$ x^2 + y^2 = 2^2 $$

Lm = y = 4/3x

substitusi y = 4/3x ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 2^2$

x = 6/5

y = 24/15

jarak (xn , yn) ke (xm, ym)

$\sqrt { {(36/25 - 6/5)}^2 + {(48/25 - 24/15)}^2} }$

 $$\sqrt { {(6/25)}^2 + {(24/75)}^2} }$$ = 0,4 cm

Cara 2

Jarak dari pusat (0,0) ke (xm, ym)

 $\sqrt { {(36/25 - 0)}^2 + {(48/25 - 0)}^2} }$ = 2,4 cm

jarak (xn , yn) ke (xm, ym) = 2,4 cm - radius = 0,4 cm

Cara 3

Rumus khusus Jarak dari suatu garis ke pusat lingkaran

garis Ax + By + c dan pusat (m,n)

D = $ \left| \frac {A.m + B.n + C} {\sqrt {A^2 + B^2} } \right| $

D = $ \left| \frac {3.0 + 4.0 - 12} {\sqrt {3^2 + 4^2} } \right| $

D = 12/5 = 2,4 cm

jarak (xn , yn) ke (xm, ym) = 2,4 - radius = 0,4 cm

Cara Mencari Luas Maksimum dan Minimum dengan Turunan

1. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang dengan keliling 400 dan luas maksimum!

Jawab

Turunan fungsi = 0 akan menghasilkan nilai x,y yg membuat fungsi maksimum atau minimum

2 Pembuktian Trigonometri Matematika SMA

1. Diketahui sin x cos y = p/3, sin(x - y) = 6p, x + y = phi/2

Nilai p?

Jawab

Cara Mencari Garis Singgung Kurva dan Elips Matematika SMA

Sebuah kurva dengan persamaan $4x^2+8x+9y^2−36y+4=0 $



Cari :

- Persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva dan sejajar sumbu y

- Persamaan garis yang bersinggungan dengan kurva dan sejajar sumbu x

- Gambar Elipsnya



Jawab



Persamaan garis yang menyinggung kurva memiliki syarat

gradient garis singgung dan gradient kurva adalah sama untuk (x,y) dimana mereka bersinggungan.



Gradien kurva = turunan pertama kurva $\frac {d(y)} {d(x)} $ = gradien garis yang bersinggungan

 $ 4x^2+8x+9y^2 -36y+4 = 0 $

 $ 4x^2+8x = 9y^2 - 36y+4 $

 $\frac{d(4x^2+8x)}{d(x)} = \frac{d(9y^2-36y+4)}{d(y)}$

 $ (8x + 8) \ d(x) = (18y - 36) \ d(y) $

 $\frac{d(y)}{d(x)} = \frac {8x + 8}{18y - 36} $



- persamaan garis yang sejajar sumbu x memiliki gradien = 0

 $0 = \frac {8x + 8}{18y - 36} $

 8x + 8 = 0

 x = -1,

 $4x2+8x+9y2-36y+4=0$

 $4(-1)^2+8(-1)+9y^2-36y+4=0 $

 $9y^2-36y =0 $

 y = 0 atau y =4

 persamaannya = y = 0 atau y =4



- persamaan garis yang sejajar sumbu y memiliki gradien = tak terdefinisi

tak terdefinisi bila pembagi adalah nol, berarti :

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac {8x + 8}{18y - 36} $

 18y - 36 = 0

 y = 2,

 $4x2+8x+9y2-36y+4=0$

 $4x^2+8x+9(2)^2-36(2)+4=0 $

 $4x^2+8x+ 36 -72 +4=0 $

 $4x^2+8x -32 = 0$

 $x^2+2x -8 = 0$

 (x-2)(x+4) = 0

 x = 2 atau x = -4

 persamaannya = x = 2 atau x = -4



- Gambar Elipsnya



ubah $4x^2+8x+9y^2-36y+4=0 $ ke persamaan umum elips

 $\frac {(x-h)^2}{a^2} + \frac {(y-k)^2}{b^2}$

 $4x^2+8x+9y^2-36y+4=0 $

 $4x^2+8x+9y^2-36y = -4 $

 $4(x^2+ 2x + 1) + 9(y^2-4y+4)= -4 + 4 + 36 $

 $4(x+1)^2 + 9(y-2)^2 = 36$

 $\frac {4(x+1)^2}{36} + \frac{9(y-2)^2}{36} = \frac {36}{36}$

 $\frac {(x+1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{4} = 1$



pusat = (h,k) = (-1,2)



jari jari a = 3, b = 2

Jika digambar :

$y^3 + 2y = sin x + cos x - 1 + 3x^2$

Cari gradien dari kurva saat menyinggung sumbu-y!



Jawab



menyinggung sumbu-y berarti x = 0

 $y^3 + 2y = sin x + cos x - 1 + 3x^2$

 $y^3 + 2y = sin 0 + cos 0 - 1 + 3.0^2$

 $y^3 + 2y = 0$

 $y (y^2 + 2) = 0$

 y = 0



Gradien kurva = turunan pertama kurva $\frac {d(y)} {d(x)} $

 $\frac{d(y^3 + 2y)}{d(y)} = \frac{d(sin x + cos x - 1 + 3x^2)}{d(x)}$

 $(3y^2 + 2 ) \ d(y) = (cos x - sin x + 6x) \ d(x) $

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac{cos x - sin x + 6x}{3y^2 + 2} $

di titik 0,0

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac{cos 0 - sin 0 + 6.0}{3.0^2 + 2} $

 $\frac {d(y)} {d(x)} = \frac 1 2$